【离散数学-集合论】等价关系及等价类 (2-2)

1、设≅是集合A上的等价关系，由[公式]可以得到的A的所有等价类，任取其中两个等价类，它们要么相等，要么相交为空。

证明：

假设Ⅹ₁，Ⅹ₂是A上关于≅的两个等价类，则必然出现下面两种情况之一：

(1)、X₁，X₂；(2)、X₁ ≠ X₂ 。

我们将证明对于情况(2)而言，必有X₁∩Ⅹ₂＝∅。

由于X₁ ≠ X₂ ，不失一般性，必然存在x ∈ X₁，x ∉ X₂（x ∈ X₂，x ∉ X₁是类似的）。

假若X₁∩X₂不为空，则必然存在y∈X₁∩Ⅹ₂，由等价类定义可得x≅y，但由于y∈X₂，则可知必然有x∈X₂，这就与x∉X₂形成矛盾，故而X₁∩X₂＝∅。

2、取A上关于≅的所有两两相交为空的等价类，依次命名为M₁，M₂，. . .（也就是说Mᵢ∩Mⱼ＝∅，i ≠ j)，则必然有A＝M₁∪M₂ . . .。

证明：

一方面，M₁∪M₂ · · · ⊆ A是显然的。

另一方面，任取x∈A，若x∉M₁∪M₂ . . . ，则可构建A上的一个等价类P＝{y|y∈A，y ≅ x}，显然x∈P，但是由题目条件知M₁，M₂，. . .是A上关于≅的所有两两相交为空的等价类，故而必然有x∈M₁∪M₂ . . .，这与x∉M₁∪M₂ . . .形成了矛盾，因此必然有x∈M₁∪M₂ . . .。因此A ⊆ M₁ ∪ M₂ . . .。

综上，A＝M₁∪M₂ . . .。

书上证明

证明：

❖任取Mᵢ，Mᵢ，i≠j。假设Mᵢ∩Mᵢ≠ф，则必存在x∈Mᵢ∩Mᵢ，则任取a∈Mᵢ，b∈Mᵢ，都有a≅x，b≅x，所以a≅b，故Mᵢ＝Mᵢ，矛盾。

❖任取a∈A，令M＝{x|x∈A并且x≅a}，由定理1.2.6知，M是等价类，故有k，使得M＝Mₖ，因为a∈M，所以，

a∈M₁∪M₂∪. . .∪Mₖ∪. . . 。显然有M₁∪M₂∪ . . .⊆A 。故A＝M₁∪M₂∪. . . 。

参考

离散数学集合论参考 吉林大学的网课 离散数学课程主页

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