指标定理（一） (11-1)

A Brief lntroduction to lndex Theorems 指标定理

本文简要介绍的是Atiyah-Singer 指标定理及其特殊情况Hirzebruch符号差定理以及Riemann-Roch定理。粗略地说，Atiyah-Singer 指标定理陈述的是对于流形上的一类算子，通过解析的方式以及通过拓扑的方式分别得到的两种指标相等。

文中第一节是一些预备知识，包括向量丛、示性类与K理论等，如有需要可以看看或者直接跳过。第二节讲两种指标的定义、定理的叙述以及简要概括了定理证明（不是用热核那个方法）。后面是Atiyah-Singer 指标定理的特例与应用，包括de Rham复形与Dolbeault复形、Hirzebruch符号差定理以及Riemann-Roch定理的概述。

注意：文章划分（1/5）章节！

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A Brief Introduction to Index Theorems

Lan Qing

August 26, 2020

Abstract

The Atiyah-Singer index theorem states that for an elliptic operator on a com-

pact manifold, the analytical index is equal to the topological index. In this note we give a brief introduction to the Atiyah-Singer index theorem. As applications we interpret the Hirzebruch signature theorem and the Riemann-Roch theorem as special cases of the Atiyah-Singer index theorem.

Contents

1 Introduction and Preliminaries

1.1 Introduction...................................2

1.2 Fibre bundles and vector bundles.......................2

1.3 Grassmann manifolds..............................3

1.4 Principal bundles and classifying space....................5

1.5 Characteristic classes..............................

1.6 K-theory..................................... 8

1.7 Thom isomorphism in K-theory........................ 10

2 Atiyah-Singer Index Theorem 12

2.1 Analytical index.................................12

2.2 Topological index................................13

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