Sidorenko猜想 (2-2)

Sidorenko Conjecture：

∫ ∏ h(xᵢ，yⱼ)dμˢ⁺ᵗ ≥ (∫ hdμ²)ᵐ

(i，j)∈E

我们抛开上面那些复杂的数学语言和形式，Sidorenko猜想本身是极其美丽的。注意到，我们要考虑的问题本身是，给定一个二部图 H ，我们想知道在一个给定点数 n 和边密度 p 的图 G 里，能包含这个结构图 H 的数目最小值是多少？ Sidorenko猜想是说，当 G 是一个给定边密度的随机图的时候，结构图 H的数目在渐近意义下是最小的。

下面介绍一些已知的结果。

1. Sidorenko本人在1993年证明了当 H 是完全二部图 Kₛ，ₜ ，偶圈 C₂ₖ ，树时，该猜想成立。

2. Hatami在2010年证明了Cube满足Sidorenko猜想。

3. 关于该猜想的第一个大突破来源于Conlon-Fox-Sudakov，他们证明了若 H 这个二部图中，存在一个点与另一部的点全部连边，那么这个 H 满足Sidorenko猜想，这篇文章与2010年发表在GAFA，从投稿到接收只用了1个月。他们利用的就是Dependent Random Choice（话说我发现用这个方法的paper有很大的概率能提高审稿人的阅读兴趣与审稿效率）。

4. 利用entropy method，Li和Szegedy证明了一个更大的图类reflection trees满足Sidorenko猜想。他们只要利用了logarithmic convexity inequalities。文章发表在Combinatorica。

5. Conlon，Kim，J.Lee 和C.Lee将4的结果推广到了更广的一些图，称之为tree-arrangeable graphs。有几篇文章发表在JLMS，Advance，Trans AMS等期刊

6. 最近，Conlon和它的博士生Lee研究了关于Subdivision of complete graph，证明了其也满足Sidorenko猜想。以及一些相关的新图类，文章发表在Discrete Analysis上。

7. 我在梦里幻想过我证完了这个猜想，不知道是不是真的。

哈代曾经说过，There is no permanent place in the world for ugly mathematics。我感觉Sidorenko猜想本身就是个非常beautiful的猜想。关于这个猜想，我想任何的进展都会被认为是improtant的。

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