Kronecher定理 (2-2)

命题1成立.

2.Kronecher定理:若θ ∈ ℝ – Q，α ∈[0，1)， 则∀ϵ＞0，∃n ∈ ℕ，s.t. | {nθ} – α|＜ϵ.

证明：若∀ϵ＞0，∃n₁ ∈ ℤ – ℕ⁺ ∨ ℕ，s.t. |{n₁θ} – α|＜ϵ.

|{n₁θ} – α|＜ϵ ⇔ |{n₁θ} – α|＜ϵ ⇔

│– {–n₁θ}＋1 – α|＜ϵ ⇔ |{–n₁θ} – (1 – α)|＜ϵ.

由于 α 是区间 [0，1] 上的任意一个实数，所以 1 – α 也是区间 [0，1] 上的任意一个实数，所以 ∀ϵ＞0，∃n₁ ∈ ℕ，s.t. | {n₁θ} – α|＜ϵ. ⇔ ∀ϵ＞0，∃n₁ ∈ ℤ – ℕ⁺，s.t.|{n₁θ} – α|＜ϵ.

两个命题同时成立或同时不成立，命题1的成立保证了上述两个命题成立，证毕。

推论：1.若θ ∈ ℝ – ℚ，则{{kθ}}⁺∞ₖ₌₁ 在 [0，1)上是稠密的。

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