西罗定理 (3-3)

2. nₚ ≡ 1(mod p)

3. nₚ＝[G：Nɢ(P)] ，P为G的任意一个西罗p子群，Nɢ(P) 为P在G中的正规化子。

设G的全体西罗p子群为Ω ，考虑G在 Ω 上的共轭作用 σ：G × Ω → Ω ， σ(g，P)＝gPg⁻¹，P的稳定子 Gᴘ 就是P在G中的正规化子 Nɢ(P) 。

∀p ∈ P：pPp⁻¹ ⊂ P， |pPp⁻¹|＝|P| ，于是 pPp⁻¹＝P ， P ⊂ Nɢ(P) ， ∀α ∈ Nɢ(P)，αPα⁻¹＝P ，因此 P ◃ Nɢ(P) 。

证明：西罗p子群彼此共轭，于是∀P ∈ Ω ， nₚ＝|G(P)|＝[G：Gᴘ]＝[G：Nɢ(P)]。 |G|

──

|G| |P|

[G：Nɢ(P)]＝───＝───

|Nɢ(P)|| |Nɢ(P)|

────

|P|

m

＝────

[Nɢ(P)：P]

，因此 nₚ丨m ， (nₚ，p)＝1。

考虑P在Ω 上的共轭作用 τ：P × Ω → Ω ， (|Ω|，p)＝1，于是 Ω 有不动点。取 Q ∈ Ω₀ ， ∀p ∈ P pQp⁻¹＝Q，于是 P＜Nɢ(Q) ，因此P也是 Nɢ(P) 的西罗p子群，又 Q ◃ Nɢ(Q) ，于是 P＝Q ， |Ω₀|＝1 。 nₚ＝|Ω| ≡ |Ω₀| ≡ 1(mod p) 。

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