数学联邦政治世界观
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集合论中康托定理怎么证明 (2-2)

假设幂集P(A) 的元素(即 A 的子集,即某个二进制数组),始终有来自 A 的元素 αᵢ 与之对映,那么可以写成一个列阵,例如这样排列:

α₁=1 1 0 1 0 1 . . .

α₂=1 0 0 0 0 1 . . .

α₃=0 1 0 1 0 1 . . .

α₄=1 1 0 1 1 1 . . .

α₅=1 0 1 1 1 1 . . .

这个二进制数组的对角线(左上至右下)取出来,我们称为D:

D=1 0 0 1 1 . . .

不论怎样排列,一旦确定了对映关系,D 就确定了。

可以说,D 变成了一个规则, A 的所有元素中,第 i 个元素的第 i 个数字必定等于 Dᵢ ( D 的第 i 个数)。

所以非 D ,即反转0和1,就是一个破坏了这个规则的数组,我们称它为 Ag :

Ag=0 1 1 0 0 . . .

既然Ag 也是一个数组,那么它也是 P(A) 中的元素, A 的一个子集。

但它是一个破坏了规则的数组,自然不在规则的对映方式之下。就是说,若有α₀=Ag 放进列阵中,不论放在哪一行,比如放在 i 行, α₀ 第 i 个数字必定不等于Dᵢ,因此不存在 α₀ 。

换言之,A 的所有元素对映完了, P(A) 都还有剩,即|A|<|P(A)| 。

通过这个例子可以直观的看到任何可数集的势都小于其幂集的势。

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