集合论中康托定理怎么证明 (2-2)

假设幂集P(A) 的元素(即 A 的子集，即某个二进制数组)，始终有来自 A 的元素 αᵢ 与之对映，那么可以写成一个列阵，例如这样排列：

α₁＝1 1 0 1 0 1 . . .

α₂＝1 0 0 0 0 1 . . .

α₃＝0 1 0 1 0 1 . . .

α₄＝1 1 0 1 1 1 . . .

α₅＝1 0 1 1 1 1 . . .

这个二进制数组的对角线(左上至右下)取出来，我们称为D：

D＝1 0 0 1 1 . . .

不论怎样排列，一旦确定了对映关系，D 就确定了。

可以说，D 变成了一个规则， A 的所有元素中，第 i 个元素的第 i 个数字必定等于 Dᵢ ( D 的第 i 个数)。

所以非 D ，即反转0和1，就是一个破坏了这个规则的数组，我们称它为 Ag ：

Ag＝0 1 1 0 0 . . .

既然Ag 也是一个数组，那么它也是 P(A) 中的元素， A 的一个子集。

但它是一个破坏了规则的数组，自然不在规则的对映方式之下。就是说，若有α₀＝Ag 放进列阵中，不论放在哪一行，比如放在 i 行， α₀ 第 i 个数字必定不等于Dᵢ，因此不存在 α₀ 。

换言之，A 的所有元素对映完了， P(A) 都还有剩，即|A|＜|P(A)| 。

通过这个例子可以直观的看到任何可数集的势都小于其幂集的势。

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