实数（二） (5-2)

我们在这篇文章里面不会讨论算术系统或者有理数的构造，并且默认大家对于整数和有理数的性质都十分地熟悉。在这里我们提醒大家有理数满足确界原理以外的上述所有公理，从而是一个有序域。而整数则满足(A1)~(A4)，(M1)~(M3)与(D)，从而是一个整环。下一部分的构造将会从有理数开始。

ll.实数的构造

在这一节中，如果没有特别说明，小写拉丁字母总是表示有理数。我们先给出分划的定义，即

定义1.有理数集的一个分划是有理数的一个子集 α ，满足

(C1)α ≠ ℚ ，且 α 没有最大元素；

(C2)对于任意r∈α ，存在 s∈α 使得 r＜s ；

(C3)如果s＜r 且 r∈α ，那么有 s∈α 。

我们记全体分划的集合为ℝ*。直观地来看，一个分划就是实数集上的一个开区间 (–∞，α) ，不过我们不想去验证这一点。

对于分划，我们可以定义序关系

定义2. α ≤ β ⇔ α ⊂ β

容易验证这个序关系是合理的，从而我们得到了全序集(ℝ*，≤) 。

命题1.全序集 (ℝ*，≤) 具有最小上界性。

证明.设 A ⊂ ℝ* 是一族分划，且 A 上有界。考虑 A 中所有元素的并

σ＝∪α

α∈A

断言σ＝sup A 。为此，我们先验证 σ∈ℝ* ，这是因为：

(C1)由于 A 上有界，所以 σ ≠ ℚ ，且显然 σ 没有最大元素（否则构成 σ 的某个分划就有最大元素了）；

(C2)对于任意r∈σ ，存在一个 α∈A 使得 r∈α，由(C2)可以取一个 s∈α ⊂ σ 使得 r＜s ；

(C3) 对于任意 r∈σ ，存在一个 α∈A 使得 r∈α，那么满足 s＜r 的 s∈α ⊂ σ 。

显然σ 是 A 的上界，并且对于任意一个 β＜σ ，由序关系的定义可知存在一个 t∈σ 且 t ∉ β ，那么一定有一个 α∈A 包含 t ，从而 β ⊂ α，β ≠ α 即 β＜α ， β 不是 A 的上界。

在证明了ℝ* 是具有最小下界性的有序集之后，我们为 ℝ* 定义加法与乘法，并证明我们定义的加法与乘法可以使 ℝ* 成为具有最小下界性的有序域。

我们定义＋： ℝ* × ℝ* → ℝ* 将 (α，β) 映为 α＋β＝{r＋s|r∈α，s∈β}，显然这个像是一个分划，从而映射的定义是合理的。以下我们逐一验证加法公理：

命题2.加法运算满足加法公理(A1)~(A4)。

证明.(A1)、(A2)按定义来看是显然的；

(A3)我们定义ˉ0＝{r|r＜0} ，注意到对任意 α∈ℝ* 与 s∈α ，任取 r＜0 总有

r＋s＜s

从而r＋s∈α，由 r，s 的任意性可以得到 α＋ˉ0 ⊂ α 。又对于任意的 s∈α ，按(C2)取 t∈α，t＞s，于是对于

s – t

──＜0 有

2

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。