连续函数的有界定理与最值定理 (7-1)

目录

连续函数 ▹

有界 ▹

有界性定理（Weierstrass第一定理）▹

（一）使用Bolzano-Weierstrass定理 ▹

（二）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（一）▹

（三）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（二）▹

（四）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理 ▹

最值 ▹

最值定理（Weierstrass第二定理）▹

（一）使用Cantor确界存在定理 ▹

（二）使用Bolzano-Weierstrass定理 ▹

（三）使用Heine-Borel-Lebesque有限覆盖定理 ▹

连续函数

设f：X → ℝ 是定义在实数域 ℝ 的子集 [公式]X 上的函数，称函数 f 在某一点 x₀∈X

连续，是指：

对任意给定的ε＞0 ，存在一个 δ＞0 ，使得对一切 x∈X ，当其满足不等式

|x – x₀|＜δ的时候，

均有

|f(x) – f(x₀)|＜ε

对于绝大部分情况，当点x₀ ∈ X 不是孤立点而是集合 X 的极限点时候，函数 f

在点x₀ ∈ X 处连续可以等价描述为：

lim f(x)＝f(x₀)

x→x₀

有界

f：X → ℝ是定义在实数域 ℝ 的子集 Ⅹ 上的函数.

如果存在实数M ，使得对一切 x∈X 都有 f(x)≤M，则说函数 f 是有上界的；

如果存在实数M ，使得对一切 x∈X 都有 f(x)≥ –M，则说函数 f 是有下界的；

如果存在实数M ，使得对一切 x∈X 都有 |f(x)|≤M，则说函数 f 是有界的.

有界性定理（Weierstrass第一定理）

设实数α＜b，设 f：[α，b] → ℝ 是定义在闭区间 [α，b] 上的连续函数.

那么 f 是有界函数，

也即存在着有限的常数m 和 M，使得当 x∈[α，b] 时

m ≤ f(x) ≤ M

原则上，从实数系的每个基本定理（及与之等价的命题）都可以证明有界性定理，这里选取几种证明方法

证明：

（一）使用Bolzano-Weierstrass定理

设函数f 在闭区间 [α，b] 上无界

则对于每个正实数A ，都存在一个 x∈[α，b]

使得 |f(x)| ≥ A

所以对每个n∈ ℕ*，存在 x∈ [α，b]

使得 |f(x)| ≥ n

那么可以找到一个序列 {xₙ}⊂ [α，b]（n∈ℕ* ）

使得 |f(xₙ)| ≥ n

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