有限集基数 (2-1)

（笔记来自 Kαrel 和 Herbert 。）

基数

• 基数表示有限集合中元素个数，并通过比较基数大小来判断有限集合间的大小关系。

• 无限集合的元素无法“数清”但至少可以判断肯定多于任何有限集的元素个数。

• 无限集合间的相等关系无法通过元素个数比较，但可以通过找双射函数来实现。（若存在双射函数，则两集合等势）

【例1】(0，1) 与实数集 R 等势：存在双射函数

1 1

f ── — ─，

1 — x x

满足 (0，1) 的实数跟所有实数之间的一一对应关系。

． ．

0 1

【例2】N 与 N² 等势：存在双射函数 f(x)＝x²

（上两个例子表明，无限集与其真子集等势。）

有限集基数算律

加法运算： |A|＝κ |B|＝λ，且A∩B＝ф ⇒ κ＋λ＝|A∪B| （基数加法满足交换律和结合律。）

乘法运算：

|A|＝κ |B|＝λ ⇒ |A × B|＝κ • λ。

（基数加法满足交换律、结合律和分配律）

定理：若集合 |A|＝|A'| |B|＝|B'|，则 |A × B|＝|A' × B'|

证明：集合A 与 A' 等势 ⇒ 存在双射函数 f：A → A'，同理，存在双射函数 g：B → B' ，定义函数 h：A × B → A' × B'， h(α，b)＝(f(α)，g(b)) ⇒ h 是 A × B 到 A' × B' 的双射函数，因此 |A × B|＝|A' × B'| 。

例题： κ＋κ＝2 • κ

证明：若|A|＝κ，则 2 • κ 相当于 {0，1} × A 的基数。 {0，1} × A＝({0} × A)∪({1} × A)，且 ({0} × A)与 ({1} × A) 不相交， 丨{0} × A|＝|{1} × A|＝κ，因此 丨{0，1} × A|＝κ＋κ＝2 • κ 。

推论：若 κ ≥ 2 ，则 κ＋κ ≤ κ • κ 。

指数运算：若 |A|＝κ ，则 |B|＝λ ，则|Aᴮ|＝κλ。（ Aᴮ：从 B 到 A 的函数； |Aᴮ|＝κλ ：从 B 到 A 的所有函数的数量）

定理：若集合 |A|＝|A'| |B|＝|B'| ，则 |Aᴮ|＝|A'ᴮ'|

证明： 集合A 与 A' 等势 ⇒ 存在双射函数 f：A → A' ，同理，存在双射函数 g：B → B'。 令 k 代表从 B 到 A 的一个函数，即 k∈Aᴮ ，令函数 H Aᴮ → A'ᴮ'，则 H(k)＝f • k • g⁻¹， H 为 Aᴮ 到 A'ᴮ' 的双射函数。

k

A ← B

f↓ ↓g

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