【离散数学-集合论】无穷集合的基数 (2-1)

目录 ▹

前言 ▹

正文 ▹

基数的基本概念 ▹

康托定理和康托-伯恩斯坦定理 ▹

参考 ▹

正文

基数的基本概念

基数的定义

定义1. 没A为集与A对等 · · · 的所有集均赋予1个记号α，則α称为A的基数，记作 |A| 定义1'设A为集，则与A对等的所有集形成的集族行为A 的基数！

这定义太抽象了。

基数的比较

if A~B

大hen x＝β

定义2.α，β是A，B的基数，if A与B的真子集对等.但A与B不对等 則行 α 山 于β.记作α＜β

α，β是集合A，B的基数，如果A与B的真子集对等，但A与B不对等，则称α小于β，记做α＜β。若A与B对等，则记做α＝β。

这里补充一下吉大对于基数的定义

定义

定义1.3.7

❖设A，B是任意两个集合。

（1）称A的基数小于等于B的基数，记为|A|≤

|B|，如果有A到B单射σ或有B到A满射σ。

（2）称A的基数小于B的基数，记为|A|＜|B|，如果|A|≤|B|且|A|≠|B|。

若是无穷集，就不能用数个数来比较元素个数多少了，而是通过单射，满射，一一映射来进行规定。注意！若仅有A到B的映射，不能说明|A|和|B|之间的关系。

当有A到B的单射σ，直观上来讲x₁，x₂∈A且x₁≠x₂时，必然有y₁≠y₂，所以|A|＝|σ(A)|，即A和值域σ(A)是等势的，而σ(A) ⊆ B，故而定义 |A| ≤ |B| 是合理的。

A．→．B

．→．

．→．

．

当有B到A的满射σ，直观上来讲任意y∈A，必然存在x∈B使得σ(x)＝y，关键在于可能并非存在唯一的x使得σ(x)＝y，故而定义|A| ≤ |B| 是合理的。

B．→．A

↙

．

．

↙

．

．

↙

．

❖即为：若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A| ≤ |B|：若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A| ≤ |B|。

事实上，后来我发现存在A到B的单射⇔存在B到A的满射 ⇔ A与B的某子集存在一一对应关系。

B．→．A B．→．A A．→．B

．→． → ．→． → ．→．

．→． ← ．→． ← ．→．

↙ ．

．

（例一）B到A满射

（例二）A和B的子集存在——对应关系

（例三）A到B单射

故而上面哪个等价条件来定义|A| ≤ |B|都是一样的。

康托定理和康托—伯恩斯坦定理

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