特殊篇章（数学定理）一 (8-1)

介绍：Gauss-Bonnet定理的外蕴和内蕴证明

本文给出欧式空间 ℝ³ 中光滑参数曲面上Gauss-Bonnet定理的外蕴和内蕴证明, 通过比较这两种证明方法, 我们看到在一般的Riemann流形上引入联络的必要性. 我们采用Einstein求和约定, 即相同的两个指标一个为上标另一个为下标时意味着对该指标在其取值范围内求和. 当不满足求和约定时, 我们将明确写出求和号. 此外, 我们约定指标 α，β，γ，⋯的取值范围为 {1，2}； 指标 i，j，k，⋯ 的取值范围为 {1，2，3}.

1. Gauss曲率

给定欧式空间 ℝ³ 中的曲面 S，设 U 是它的一个坐标邻域, S 在 U 上的坐标表示为 r＝r(x¹，x²). 在坐标邻域 U 上取定向相符的光滑正交标架场 {r；e₁，e₂，e₃} (其中 e₃＝n 是曲面的单位法向量), 其运动方程可表示为

dr＝ωαeα，

deᵢ＝ωʲᵢeⱼ，ωʲᵢ＋ωⁱⱼ＝0.

其中微分形式 ωα 和 ωʲᵢ 满足结构方程

(1){dω¹＝ω²∧ω¹₂，

{dω²＝ω¹∧ω²₁.

和

(2){dω²₁＝ω³₁ ∧ω²₃ ，

{dω³₁＝ω²₁∧ω³₂，

{dω³₂＝ω¹₂∧ω³₁.

由于 dω²₁ 是一个二次微分形式, 它可以由 ω¹∧ω² 线性表示, 我们断言线性表示的系数为负的Gauss曲率, 即

(3)dω²₁＝−Kω¹∧ω².

为了证明这一点, 考虑 S 在 U 上的自然标架场 {r；r₁，r₂，n}，其中 r₁＝∂r/∂x¹ 并且 r₂＝∂r/∂x². 由于 r₁，r₂ 和 e₁，e₂ 都是曲面 S 的切平面内线性无关的向量，因此我们有

rα＝αβαeᵦ.

另一方面，由

dr＝ωαeα＝rαdxα

得到

ωα＝ααᵦdxβ.

由此我们得到

(4)ω¹∧ω²＝det(αβα)dx¹∧dx²

r₁∧r₂

＝───dx¹∧dx².

e₁∧e₂

等式(4)的最右端恰好是坐标 x¹，x² 增加 dx¹，dx² 时对应的曲面面积微元. 同样地, 利用 dn 在正交标架和自然标架下的表示，我们得到

n₁∧n₂

(5)ω¹₃∧ω²₃＝ ───dx¹∧dx²，

e₁∧e₂

其中 n₁＝∂ₙ/∂x¹ 并且 n₂＝∂ₙ/∂x². 等式(5)的右边恰好是对应的曲面的法向量在单位球面上扫过的面积微元. 根据Gauss曲率的原始定义, 我们得到

(6)K＝n₁∧n₂

─────dx¹∧dx²

e₁∧e₂

K＝─────────

r₁∧r₂

───dx¹∧dx²

e₁∧e₂

ω¹₃∧ω²₃

＝ ─────.

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