Weierstrass逼近定理 (2-2)

＋E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|＜δ})\]

Sₙ Sₙ

─ ─

对第一项， \[E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|≥δ})

m m

── ──

＝∑{m：|n−x|≥δ}|f(n)

−f(x)|P(Sₙ＝m)\]

\[≤2M∑{m：|m

──

n−x|≥δ}P(Sₙ

Sn

──

＝m)＝2MP(|n−x|≥δ)

2M

≤ ── \]

nδ²

Sₙ Sₙ

── ──

对第二项， \[E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|＜δ})

m m

── ──

＝∑{m：|n−x|＜δ}|f(n)−f(x)|P(Sₙ＝m)\]

m

ε ──

＜──∑{m：|n−x|＜δ}P(Sₙ＝m)

2

Sₙ

ε ── ε

＝──P(|n−x|＜δ)≤──

2 2

2M ε

|＜──＋──

因此 |Bₙ(x)−f(x) nδ² 2 。

4M

取 N＝──

εδ² ( N 与 x 无关)，则当n＞N 时， ∀x∈[0，1]， |Bₙ(x)−f(x)|＜ε ，由此得到 Bₙ(x) 一致收敛于 f(x) ◻

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