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Lifting the exponent：LTE引理 (2-2)
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当2∤n时，由引理2即证 .
▢
注 . 若又有α≡b(mod 4)，则υ₂(αⁿ−bⁿ)＝υ₂(α−b)＋υ₂(n)
应用 . p为奇素数，α＞1，已知模p的原根存在，求证pα存在原根 .
证明： 设g为模p原根，(g，p)＝1，gᵖ⁻¹≡1(mod p) .
若gᵖ⁻¹≢1(mod p²)，则令r＝g .
若gᵖ⁻¹≡1(mod p²)，则令r＝g＋p，从而
rᵖ⁻¹≡gᵖ⁻¹＋(p−1)pgᵖ⁻²≡1−pgᵖ⁻²≢1(mod p²)
即r为模p原根，且υₚ(rᵖ⁻¹−1)＝1 . 下证r为模pα原根 .
设δ＝δpα(r)，rδ≡1(mod pα)⟹rδ≡1(mod p) . 从而p−1∣δ . 又因为δ∣φ(pα)＝pα⁻¹(p−1)，可设δ＝pβ(p−1)，(0≤β≤α−1)，由LTE引理有
α≤υₚ(rδ−1)＝υₚ (rᵖβ⁽ᵖ⁻¹⁾−1)＝υₚ(rᵖ⁻¹−1)＋β＝1＋β
故β＝α−1，即r为模pα原根 .
▢
参考资料.
Lifting-the-exponent lemma - Wikipedia
Lifting the exponent | Complex Projective 4-Space ()
升幂定理大练兵 ()
浅谈升幂（LTE）引理 ()
Lifting The Exponent | Brilliant Math & Science Wiki
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