Lifting the exponent：LTE引理 (2-2)

当2∤n时，由引理2即证 .

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注 . 若又有α≡b(mod 4)，则υ₂(αⁿ−bⁿ)＝υ₂(α−b)＋υ₂(n)

应用 . p为奇素数，α＞1，已知模p的原根存在，求证pα存在原根 .

证明： 设g为模p原根，(g，p)＝1，gᵖ⁻¹≡1(mod p) .

若gᵖ⁻¹≢1(mod p²)，则令r＝g .

若gᵖ⁻¹≡1(mod p²)，则令r＝g＋p，从而

rᵖ⁻¹≡gᵖ⁻¹＋(p−1)pgᵖ⁻²≡1−pgᵖ⁻²≢1(mod p²)

即r为模p原根，且υₚ(rᵖ⁻¹−1)＝1 . 下证r为模pα原根 .

设δ＝δpα(r)，rδ≡1(mod pα)⟹rδ≡1(mod p) . 从而p−1∣δ . 又因为δ∣φ(pα)＝pα⁻¹(p−1)，可设δ＝pβ(p−1)，(0≤β≤α−1)，由LTE引理有

α≤υₚ(rδ−1)＝υₚ (rᵖβ⁽ᵖ⁻¹⁾−1)＝υₚ(rᵖ⁻¹−1)＋β＝1＋β

故β＝α−1，即r为模pα原根 .

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参考资料.

Lifting-the-exponent lemma - Wikipedia

Lifting the exponent | Complex Projective 4-Space ()

升幂定理大练兵 ()

浅谈升幂（LTE）引理 ()

Lifting The Exponent | Brilliant Math & Science Wiki

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