Tauber定理及其证明 (2-2)

─

n

ε

∑∞ₖ₌ₙ₊₁ k|αₖ|xᵏ|≤─

3

1

• ─

n

ε 1 ε

|∑∞ ₖ₌ₙ₊₁ xᵏ|≤─ • ──＝─

3n 1−x 3n

1 ε

• ─────＝─.

1−（1−1） 3

─

n ε

|∑∞ ₖ₌₀ αₖxᵏ−S|＝|f(1 − 1)−S|＜─

─ 3

n

.

所以

|∑ⁿₖ₌₀ αₖ−S|≤|∑ⁿₖ₌₀ αₖ(1−xᵏ)|＋|∑∞ ₖ₌ₙ₊₁ αₖxᵏ|＋|∑∞ ₖ₌₀ αₖxᵏ−S|≤ ε ε ε

─＋─＋─＝ε

3 3 3

因此Σ∞ₙ₌₀ αₙ 收敛，且Σ∞ₙ₌₀ αₙ＝S.

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