型省略定理

定理 1 ：假设 T 是可数语言完备理论，且 Γ(x→)⊃T 不是根本型，那么存在 T 的模型 M 省略 Γ(x→) 。

证明：该证明与Hekin构造法类似，只不过我们需要更细致地处理常元。向语言 𝕷 加入可数个新常元 D＝{dᵢ}ᵢ＜ω ，下面我们构造 𝕷′ 的完备一致理论 T′ ， T′⊃T 且 T′ 有模型省略 Γ(x→) 。为了简便起见，我们只考虑有一个自由变元的 Γ(x) 的情况。

令 ψ₁，⋯，ψₙ，⋯ 是 L′ 公式的枚举，且 dₖ 不在 ψ₁，⋯，ψₖ 出现。定义如下递归过程：对于任意 m ，

1. Tm 是 𝕷′ 的可数一致理论，且 Tm 是 T 的有穷扩张；

2. ψₘ∈Tₘ 或者 ¬ψₘ∈Tₘ ；

3. 如果 ψₘ＝∃xϕ ，那么 ϕ(x；dₘ)∈Tₘ ；

4. 存在 σ(x)∈Γ(x) 满足 ¬σ(x；dm)∈Tₘ ；

假设 Tₘ 已经定义，现在我们来定义 Tₘ₊₁ ：由于 Tₘ 一致，因此 ψₘ₊₁，¬ψₘ₊₁ 必有一个与 Tm 一致，设 Tₘ′=T∪{ψₘ₊₁} 。如果 ψₘ₊₁＝∃xϕ ，那么令 T″=T′∪{ϕ(x；dₘ₊₁)} 。现在我们令 T″＝T∪{χ₁，⋯，χₖ} 且 T″ 中公式出现的自由变元全部为 x₀，⋯，xᵤ ，将 x₀，⋯，xᵤ 全部替换为 xₚ，⋯，xₚ₊ᵤ ，其中 p=m+u+1 。

定义公式

ρ(x)=∃x₂，⋯，xm，xp，⋯，

xₚ₊ᵤ(⋀ χᵢ(d₂，⋯dₘ；x₂，⋯，xₘ）)

ᵢ

那么 ρ(x) 就是含有一个自由变元的 𝕷 公式，根据假设，存在 σ(x)∈Γ(x) 满足 T ⊢ ∃ x (ρ(x)∧¬σ(x)) ，此时我们令 Tₘ₊₁＝{¬σ(x；dₘ₊₁)}∪T″ ，不难验证 Tₘ₊₁ 是一致的，且满足上述四条要求。

令 T∞＝⋃ᵢ Tᵢ，根据Hekin构造法可得 T∞ 的模型 N （ N 就是 D 的等价类构成的集合）。任选 𝕷′ 常元 d ，那么存在公式 σ∈Γ(x) 且 ¬σ(x；d)∈T∞ ，因此 d 不能实现 Γ(x) 。定理成立。 ⊣

定理 2 ：假设 {Γᵢ(x₁，⋯，xₖᵢ)}ᵢ＜ω 是一组非根本型，则存在 T 的模型 M 同时省略所有 Γᵢ(x₁，⋯，xₖᵢ) 。

证明：只需注意到 ω × ω≈ω 是可定义的。利用上述证明方法证明即可。⊣

定理 3 ： T 是根本型理论，当且仅当 T 有可数原子模型。

证明：从右到左易得；从左到右：令Φₙ＝{¬ψ(x→)：ψ是T的判别式} ，显然 Φₙ 不是 T 的根本型。根据定理 2 ，令 M 同时省略上述所有 Φₙ ，则任选 α→∈Mⁿ 都存在 ¬ψ∈Φₙ 满足 α→ 省略 ¬ψ ，因此 M ⊨ ψ(α→) ，则 tpᴍ(α→) 是一个根本型，定理成立。⊣

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