（数学定理）钻石原则

钻石原则 ◊ 是指存在钻石序列 ⟨Sα：α＜ω₁⟩ 满足 1.Sα⊆α 和

2.∀X⊆ω₁({α：X∩α＝Sα}是ω₁稳定集) ，不难看出 ◊ → CH ：任选 X⊆ω ，由于 {α∈ω₁：X∩α＝Sα} 是 ω1 稳定集，因此存在 α＞ω 满足 X＝X∩α＝Sα ，令 f(X)＝min{α：X＝Sα} ，则 f 是 Pω → ω₁ 的单射。

下面我们证明 V＝L → ◊ ，该定理最早由数学家Jesen证明。

证明：注意到钻石序列的否定形式：存在 X⊆ω₁ 和 ω₁ 的无界闭集 C 满足 α∈C → X∩α≠Sα ，以及 L 满足的两个重要性质： AC 和凝聚性引理。

先在 L 中定义一个钻石序列：令 ⟨S₀，C₀⟩ 满足 S₀＝C₀＝∅ ；假设 ⟨Sα，Cα⟩ 以及定义，令 Sα₊₁＝Cα₊₁＝α＋1 ；假设 α 是极限序数且 ⟨Sᵦ，Cᵦ⟩，β＜α 已经定义，令 ⟨Sα，Cα⟩＝min＜ʟ{⟨A，B⟩：ψ(α，A，B)} ，其中 ψ(α，A，B) 当且仅当 A ⊆ α 、 B 是 α 的无界闭集且 ∀β∈B，(A∩β≠Sᵦ) ；如果这样的 ⟨A，B⟩ 不存在，那么令 Sα＝Cα＝α 。递归可得序列 ⟨Sα：α＜ω₁⟩ 。根据凝聚性引理，不难看出上述构造在 Lω₂ 以内即可完成。下面证明此为钻石序列：

反证法，假设 ⟨Sα：α＜ω₁⟩ 不是钻石序列，那么存在 X ⊆ ω₁ 和 ω₁ 的无界闭集 C 满足 ∀α∈C，(X∩α≠Sα) ，令 ⟨X，C⟩ 是满足上述要求的 ＜ʟ 下最小元。令可数模型 M 满足 {⟨X，C⟩，⟨Sα：α＜ω₁⟩，ω₁}⊆M≺Lω₂ （注意不是 ω₁⊂M 而是 ω₁∈M ）。令 A＝M∩ω₁ ，由于 M ⊨ ∃γ(γ＝{x：x∈ω₁}) 且

M ⊨ γ是序数 ，根据 M≺Lω₂ ，那么Lω₂ ⊨ γ是序数 ，因此 A＝γ ；同时，因为 M ⊨ C是无界闭集 和 M ⊨ C在γ之下无界 ，根据 M≺Lω₂ ，因此 γ∈C 。令 π：M → Lδ 为坍缩映射，那么有 π(ω₁)＝γ 、 π(X)＝X∩γ （假设 γ∈η∈X∧η∈M ，那么 π(η)∈γ ，但这与 π 是单射且 ∀x∈γ(π(x)＝x) 矛盾，因此 η∉M ，则有 π(X)＝X∩γ ）、 π(C)＝C∩γ （与上同理）、 π(⟨Sα：α＜ω₁⟩)＝⟨Sα：α＜γ⟩ （这是因为 Sα ⊆ α＜γ ）。由于 π 是同构映射且 M 满足“ ⟨X，C⟩ 是满足 ∀α∈C，(X∩α≠Sα) 的 ＜ʟ 下最小元”，因此 Lδ 满足“ ⟨X∩γ，C∩γ⟩ 是满足 ∀α∈C∩γ，(X∩α≠Sα) 的 ＜ʟ 下最小元”。由于 π(C)＝C∩γ 是 γ 的无界闭集，因此 C∩γ＝Cᵧ 且 X∩γ＝Sᵧ ，但这与 ∀α∈C，(X∩α≠Sα) 和 γ∈C 矛盾，反证定理成立。⊣

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