数学联邦政治世界观
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特殊篇章(数学解释)十二 (2-2)

举一个好玩的例子:定义 Funcω(ω₁,ω₂) 是从 ω₁ 到 ω₂ 的全体可数函数构成的集合, M 是可数传递模型, M[G] 是 Funcω(ω₁,ω₂)ᴹ 的力迫扩张,令 G 是 Funcω(ω₁,ω₂) 的脱殊滤子,由于 Dα={p:∃β<ℵ₁ (p(β)=α)},α<ℵ₂ 是稠密子集,因此 ⋃G:ω₁ → ω₂ 是一个满射,矛盾!

这里其实并没有任何矛盾,上述讨论实际是证明了 M[G] ⊨ ω₁ᴹ=ω₂ᴹ ,换言之, ω₂ᴹ 在 M[G] 中不是基数。尽管 M[G] 是 ZFC 的一个传递模型,但如果这个力迫扩张不保持相应的基数,那么它对于计算连续统基数就没有太大的意义。这正是我们在 M₂ 中做的事情:我们证明了 Add(ℵ₁,ℵ₅) 在 M₁ 中不是一个保持基数的力迫偏序。事实上,“保持基数”也是构造不满足连续统假设的模型时讨论 κ 反链条件的原因(马丁公理强调可数反链条件也是类似的原因,详情可参考

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