特殊篇章（数学解释）十二 (2-2)

举一个好玩的例子：定义 Funcω(ω₁，ω₂) 是从 ω₁ 到 ω₂ 的全体可数函数构成的集合， M 是可数传递模型， M[G] 是 Funcω(ω₁，ω₂)ᴹ 的力迫扩张，令 G 是 Funcω(ω₁，ω₂) 的脱殊滤子，由于 Dα＝{p：∃β＜ℵ₁ (p(β)＝α)}，α＜ℵ₂ 是稠密子集，因此 ⋃G：ω₁ → ω₂ 是一个满射，矛盾！

这里其实并没有任何矛盾，上述讨论实际是证明了 M[G] ⊨ ω₁ᴹ＝ω₂ᴹ ，换言之， ω₂ᴹ 在 M[G] 中不是基数。尽管 M[G] 是 ZFC 的一个传递模型，但如果这个力迫扩张不保持相应的基数，那么它对于计算连续统基数就没有太大的意义。这正是我们在 M₂ 中做的事情：我们证明了 Add(ℵ₁，ℵ₅) 在 M₁ 中不是一个保持基数的力迫偏序。事实上，“保持基数”也是构造不满足连续统假设的模型时讨论 κ 反链条件的原因（马丁公理强调可数反链条件也是类似的原因，详情可参考

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