Vitali Set的“病态性质”

Vitali Set（下文称维塔利集）是利用选择公理构造出的不满足实数子集正则性质(regularity property)的一个集合。其构造是这样的：令 ∼ 是 [0，1] 的等价关系，其中 x∼y↔∃q∈Q(x−y＝q) ，令 ℜ＝{[x]：x∈[0，1]} ，其中 [x] 是等价类，不难看出 [x]≠[y]→[x]∩[y]＝∅ ；根据选择公理，我们令 ν 是从每个等价类中挑选出的一个元素构成的集合，ν 就是一个维塔利集。显然 ν 有如下性质：第一，

x，y∈ν →∀q∈Q(x−y≠q) ；

第二，

∀x∈[0，1]∃!y∈ν∃!q∈Q(x−y＝q) ；

第三， R＝⋃q∈Q ν＋q ，其中 ν＋q＝{x＋q：x∈ν} 。

定理 1 ：维塔利集 ν 不是勒贝格可测集。

证明：假设 ν 可测，则 ν 要么是零测集要么测度大于零。如果维塔利集 ν 是零测集，那么根据可数可加性可得 μ(R)＝μ(∑q∈Qν+q)＝∑q∈Qμ(ν＋q)＝0 ，矛盾（注意 r，s∈Q∧r≠s 蕴含 (ν＋s)∩(ν＋r)＝∅ ）；如果 μ(ν)＝ϵ＞0 ，那么 μ([−1，2])≥∑q∈Q∩[0，1]μ(ν+q)＝∞ ，矛盾，反证 ν 不可测。 ⊣

定理 2 ：维塔利集 ν 不满足Baire性质。

证明：Baire性质是指存在开集 G 使得 G△ν 是第一范畴集。如果 ν 满足Baire性质，那么存在 G＝⋃ᵢ(αᵢ，bᵢ) 满足 G△ν 是第一范畴集（这是有实数集的拓扑性质决定的），因此必然存在 (α，b) 满足 (α，b)−ν 是第一范畴集。由于 q∈Q→(ν＋q)∩ν=∅ ，因此 (α，b)∩(ν＋q) 是第一范畴集，进一步得 (α−q，b−q)∩ν 是第一范畴集。由于 (α，b)∩ν⊆⋃q∈Q(α−q，b−q)∩ν ，因此 (α，b)∩ν 是第一范畴集，这就有 (α，b)＝((α，b)−ν)∪((α，b)∩ν) 是第一范畴集，但是Baire证明了所有完备度量空间都是第二范畴集、

(R，d) 是完备度量空间且 R 和 (α，b) 拓扑同胚，因此 (α，b) 是第二范畴集，矛盾，反证 ν 不满足Baire性质。⊣

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