实无穷体系（上） (13-2)

诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论：实无穷、潜无穷只是一枚硬币的两面罢了。

――这倒并非是哲学的玄奥思辩，而是辩证法为我们上的生动一课。

现代数学的主流是以经典数学为基础的，经典数学以ZFC公理集合论系统为基础，承认无穷集合的存在，故经典数学接受实无穷观，同时也不排斥无穷作为一个过程存在，可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

大学数学学习的是经典数学，故而大学数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

所谓实无穷与潜无穷，从字面上来理解，就是在讨论无穷到底是不是存在的。

支持实无穷派的主要观点主要有以下两个：首先，物质不是无限可分的，存在着最小的单位；第二，无穷大是可以构造出来的。例如：他们认为“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的，既然每个自然数都存在，那么“全体自然数”当然是存在的。

而潜无穷派则与之相反，他们认为：首先，物质是无限可分的；第二，无穷大是无法构造出来的。

与实无穷派相对应，他们认为：“全体自然数”是不存在的，因为自然数是数不完的，这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程，只有这个过程结束了，才能得到自然数全体，但这个过程无法结束，因而无法得到自然数的全体。

无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。

例如，f(x)=1/x，是当x→0时的无穷大，记作lim(1/x)=∞(x→0)。

精确的定义如下： 设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。

如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0＜|x-x0|＜δ(或|x|＞X)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|＞M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)≠0时，1/f(x)才为无穷大。

无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。

分类

无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负），分别记作+∞、-∞以及∞ ，非常广泛的应用于数学当中。

x -＞+∞ 是指 x 值一直增大，直到比任何给定的正数都大；

x -＞ -∞ 是相反方向，比任意负数都小；

x -＞ ∞ 就是 |x| -＞ +∞ 。

在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞+1，∞=∞×1。

某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。

符号为+∞，同理负无穷的符号是-∞。

扩展资料

无穷大的由来：

古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384-322）认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的是不能达到极点的，但是无限是世界上公认不能达到的。

12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比较接近现代理论化的概念。

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