实无穷体系（上） (13-1)

注意：本章一共划分（上、下）篇章

现状：（1/2）

数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。

按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。

康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。

举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。

数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。

它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。

把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。

按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。

举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。

从哲学上讲，从公元前400多年前开始就对无穷的观念产生了分歧，对于潜无穷与实无穷的无穷观之争一直延续至今。

如果坚持潜无穷论，将导致一些与实际相矛盾的现象(如芝诺关于时间、空间无穷可分的悖论的一个原因，就在于认为相应无穷分划是一个“潜无穷”过程，永远不能完成；如果使用实无穷论，认为相应无穷分划虽然是一个无穷过程，但这是一个已经完成的过程，就不出现悖论了)，并且数学上将导致现代数学失去大部分内容。

当然坚持实无穷论，也会出现一些与日常知识不一致的方面(如整体大于部分将不再绝对成立)。

基于哲学上对无穷不同认识的影响，数学中也始终存在着潜无穷与实无穷之争论。

那么，无穷到底是实无穷，抑或是潜无穷呢？

两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无穷思想也离不开潜无穷思想了。

标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。

这殊路同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。

当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。

辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。

如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识亦相仿。

看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无穷，但对无穷的认识只能是“无穷既是实无穷，又是潜无穷”，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。

在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无穷，另一方是潜无穷，而无穷正是这矛盾双方的对立统一。

事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。

潜无穷作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无穷作为矛盾体的另一面则是对潜无穷的否定，是否定之否定。

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