实无穷体系（下） (11-10)

如0.9999999.......。

有人说它表示传统数轴上的一个趋于某极限的“动点”（比如趋于1），但实际上不成立。

因为这些“动点”的每一刻都对应于一个传统数轴上的静态位置，它对应于有限数，比如0.99999,0.99999999,........之类，无论有多少位，都是有限的，因此它们与作为无限位的0.999999.........是完全不同的，不是一个“数”。

我们说，无穷小的定义就是“没有最小，只有更小”，也就是只要有一个无论多小的静止点（相对于作为极限点的一个静止点而言，通常以一个“数”来表示），按ε-δ描述，都会被“超越”，当然也就无法“固定”在这两个点了（一个静止、固定的作为极限的点，一个不断趋近于该极限的点）。

换言之也就是不会存在一个传统数轴上静止的点能够表示这样的涉及无穷小的实数，而传统数轴上的点也就是位置又只能静止，于是，这等于说传统数轴不能表示所有实数。

这与传统的看法截然不同，倒是与非标准分析有相通之处。

但非标准分析的超实数如果被认为可以在数轴上表示，那这显然也不会是传统意义的数轴，而是扩展了的数轴，可以看作是与前文笔者定义的“新体系”下的实数相对应的“新体系数轴”。

这种数轴如果想用有限线段（无论多小）表示无穷小（如做不到，则与传统数轴没有什么区别，毫无意义），那显然，传统数轴上的有限线段或数，就得在这种数轴上表示成无穷。

因为“新体系数轴上的1=ε(无穷小）=传统数轴上的1/∞”，也就是“传统数轴上的1=新体系数轴上的1×∞=∞”。

换言之，这种数轴，只能是专门用来表示无穷小的。

任何有限数，无论多小，在这种数轴上都是无穷大。

我们说，传统数轴上表示不了0.99999.......,但在静态是无穷层十叉树上有此一枝，也就是可以被表达；而1/3在后者（十叉树上）不能表达，在前者（传统数轴上）却可以；与之对应的0.333333.....却正好相反，在十叉树上可以表达，在传统数轴上却不能。但特别应该提及一点的是：如果我们用三进制，则十进制下的1/3,在三进制下就是表示成分数1/10和小数0.1，显然，无论在传统数轴还是“静态无穷层三叉树上”，都是可以表达的。

如果像传统理论那样认为1.000000.......=0.99999......，则在静态无穷层十叉树上，就必然有两个不同的枝对应同一个有理数。

比如还有0.23400000......与0.2339999.....，就是同一个有理数。

可在树上，这明明是两个不同的枝，实际明确反映了它们在数量关系上是不同的。

在传统实数轴上，这一点很容易被忽视，因为既然尾数为无穷个0的有理数是在该数轴上可以表达的，因此与之相差“无穷小”的尾数为无穷个9的有理数就不可表达（理由前文已述）。

那么，既然反正不可表达，就干脆将这两个数定义成相等算了。

这正是传统理论干的事。

看似有理，但在树结构表示法中，如前所述，问题就暴露了——这明明是两个不同的枝，凭什么表示同一个数？在数值表示法中，实际上也很清楚：不同的数值，必须表示不同的数，必须具有唯一性，否则这个表示法就难称完备。

如1.000000......与0.9999.....，数值表示截然不同，就得表示两个数，没有任何理由可以表示同一个数。

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