Martin Axiom马丁公理的推论 (2-2)

引理 3 ：假设 y∈[ω]ω 满足 ∀F∈[ℑ]＜ω(|

y−⋃F|=ω) ，那么 Ey，n＝{(s，F)：y∩s⊈n} 是 Pℑ 稠密子集。

证明：任选 (s，F) ，由于 |y−⋃F|＝ω ，因此存在 i 满足 i∈(y −⋃F)∧i＞n ，那么 (s∪{i}，F)≤(s，F) 且 (s∪{i}，F)∈Ey，n ，定理成立。 ⊣

引理 4 ：假设 G 是 Pℑ 的滤子且 g＝⋃{s：∃F(s，F)∈G} ，如果 G∩Dx≠∅ 且 ∀F∈[ℑ]＜ω(|y−⋃F|＝ω) 以及自然数 n 都有 Ey，n∩G≠∅ ，那么 |g∩x|＜ω∧|g∩y|＝ω 。

证明：若 (t，H)∈G 且 (s，F)∈G∧x∈F ，若 (t，H)≤(s,F) ，那么 x∩t⊆s ，因此 g∩x⊆s ；由于对于任意自然数 n 都有 Ey，n∩G≠∅ ，令 (tₙ，Hₙ)∈G∧(tₙ∩y ⊈ n) ，那么 ⋃ₙ tₙ ⊆g ，则 g∩y 是无限集，定理成立。 ⊣

定理 2 ：如果 MA(κ) 且 |ℑ| 的基数是 κ ，那么 ℑ 不是极大几乎不交族。

证明：令 G 是 Pℑ 的脱殊滤子和 x∈ℑ ，根据引理 2 知 Dₓ 是稠密开集，因此 Dₓ∩G≠∅ ，由引理 4 可得 g∩x 是有限集，因此 g∉ℑ （因为 g∩g＝g 是无限集）且 g 与 ℑ 中的元素几乎不交。 ⊣

定理 3 ：如果 MA(κ) 且 ν⊂ℑ 是无穷真子集，那么存在 g 满足 ∀x∈ℑ(x∈ν↔|x∩g|＜ω) 。

证明：根据定理 2 知存在 y∈ℑ 满足 y∉ν∧∀x∈ν(|x∩y|＜ω) ，令这样的 y 构成集族 Y⊆ℑ ，因此 Dx,x∈ν 和 Ey，ₙ，y∈Y 都是稠密集，由 MA(κ) 知存在 G 是 Pᵥ 脱殊滤子，根据引理 4 知 x∈ν→|x∩g|＜ω 且 y∈Y→|y∩g|＝ω ，因此 g 即为所求。 ⊣

根据定理 3 ，我们可以定义 [ℑ]≥ω→2ω 的单射 ϕ ，其中 ϕ(ν)＝g ，这样就有 2κ＝2ω ，因此 MA(κ)→2κ＝c ，定理成立。

推论： c 是正则基数。

证明：否则 κ=cf(c)＜c ，那么cf(2κ)＝cf(c)＝κ ，矛盾，反证推论成立。⊣

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