潜无穷与实无穷（数学解释）四 (3-2)

若某数列{αₙ}无限趋于0，与0的差可以任意小，则0称为此数列{αₙ}的极限。

柯西对极限的定义，就是“无限趋近”的概念，这是典型的潜无穷的思想

直觉印象

通过以上的例子，简单总结一下实无穷和潜无穷的区别：

实无穷，就是“最”，最是有终点的、结束的、完成的！

潜无穷，就是“更”，更是永远进行时的，永远没有终点的。

3. 数学大家们的争论

公园前300年左右，亚里士多德最先提出要把潜无限和实无限区别开。但他认为只存在潜无限，而不承认实无限。对他来说，无限集合这个概念是不存在的，因为无限多个事物或要素不能构成一个固定的整体。由于亚里士多德的权威，潜无限思想在古希腊数学中占统治地位。

17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立微积分学。这一被形容为一支关于“无穷的交响乐”的理论最初是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。

18世纪末至19世纪初，实无限已开始被抛弃了，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。

19世纪中，康托尔在实无限的思想上建立了集合论。他把全体自然数看作一个集合时，把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，将这个装有所有自然数的袋子看作一个自足的和完整的实体。

4. 潜无穷和实无穷背后的世界观

实无穷的思想认为这个世界的物质不可能一直被切下去，最后总会有一个不可分的小量。既然有一个不可分的小量存在，那么这个世界的物质底层就是离散的，不是连续的。

潜无穷的思想背后的世界观是：这个世界是无限可分的，所以世界物质底层是连续的。

现实世界中，今天的物理学仅仅研究、描述所谓普朗克尺度（大约10⁻³⁵米，10⁻⁴⁴秒等）以上的事物。对于普朗克尺度以下的事物，不论是否有那样的事物（即不论是否时空在普朗克尺度上就已经是离散的了），今天的物理学家们还没有任何肯定的说法。

但是今天，我们常常用一些连续的数学模型，从宏观上描述在微观上明显地是有限和离散的事物，并且取得了很好的效果。

实无穷和潜无穷的争论会继续下去，但某一天或许就会变成统一的一个整体。

5. 悖论

无穷出现的地方，悖论就出现

芝诺悖论

阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟。

对芝诺悖论的分析

• 实无穷的观点来分析

对阿基里斯和乌龟之间的距离进行切分，切分到最后是一个“原子”的距离。这个原子距离不可再分。

那么切到原子距离的次数就不是无穷，而是有限次切分。

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