潜无穷与实无穷（数学解释）四 (3-1)

目录

1. 实无穷和潜无穷的定义：

定义1：

定义2：

定义3：

2. 建立直觉印象

实无穷的例子

潜无穷的例子

直觉印象

3. 数学大家们的争论

4. 潜无穷和实无穷背后的世界观

5. 悖论

芝诺悖论

对芝诺悖论的分析

罗素悖论

原文链接

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"无穷"有着无穷的魅力，所以我们争论至今！

人们接触到了无限，却又无力去把握和认识它。对此，希尔伯特曾深有感触地说道：

“没有任何问题能像无限那样，从来就深深地触动着人们的感情；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的智慧；也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。”

1. 实无穷和潜无穷的定义：

定义1：

潜无穷把无穷性对象看成一个永无止境的过程，强调其过程性； 实无穷则是把无穷性对象看成是完成了的整体，强调其完成性。

定义2：

与空间域有关的无穷，也就是与时域无关的无穷，是实无穷。 与整体时间有关的无穷，因为整体时间是没完没了的，因此是潜无穷。

定义3：

实无穷是一个超出所有有限量的固定的常量 潜无穷意味着一个增加到超出所有有限的限制的可变有限量

2. 建立直觉印象

看着上面定义的描述，一定有点蒙。接下来通过几个例子来尝试建立直观印象。

实无穷的例子

原子

从初中的化学课本上我们知道，原子（atom）指化学反应不可再分的基本微粒。

最早提出的原子是约公元前400年的德谟克利特，他肯定不知道化学，所以他提出的原子不是现在科学意义上的原子，而是哲学意义上的原子。

德谟克利特认为，万物的本原或根本元素是“原子”和“虚空”。“原子”在希腊文中是“不可分”的意思。德谟克利特用这一概念来指称构成具体事物的最基本的物质微粒。

原子是非常非常小，是“最小”的，没有“更小” 的， 如果我们把无穷小类比为原子，那么无穷小是一个数，并且比所有的小的数都小。

这种认知就是实无穷小。

• 无理数

无理数，比如√2是一个无限不循环小数。 也就是 1.4142135623730951⋯ 。使用十进制的方式来描述它，永远无法精确，只能接近，不可到达。但是它是一个数，它是多少呢？是√2！

如果你也这么认为它是一个数，那就是实无穷的理念了。

• 自然数集合

我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。

当我们把全体自然数看作一个集合时，那就是认为无穷个自然数，组成了一个静态的整体。这个整体的概念就是实无穷的概念

潜无穷的例子

通俗的例子

幼儿园两个孩童拌嘴争执比较谁的财富更多：“我有100块”“我有1000块”“我有10 000块”，最后，一个孩子想出另一种说法：“不管你有多少，我永远比你多1块！”，这个包含了某种永远达不到的潜无穷思想。

• 庄子之棰

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是一句古语，出自《庄子·天下》。这是典型的运动着的潜无限思想。

极限

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