特殊篇章（数学解释）七 (2-2)

[f] ∈* [g] ↔ [f]_ ∈*_ [g]_ ，因此对于任意公式 ψ 都有 M ⊨ ψ([f₁]，⋯，[fₖ]) 当且仅当 N ⊨ ψ([f₁]_，⋯，[fₖ]_) ，事实上， s：N≺M 是初等嵌入，其中 s([f]_)＝[f] ，特别地 s(i(x))＝j(x) 。

假设 V＝L[A] ，那么令 M=L[j(A)] 和N=L[i(A)] ，其中 j：V≺M 和 i：V≺N 。由于 λ⁺ 是正则基数，因此 f 如果是小值域函数且 ran(f)⊆λ⁺ ，那么 ran(f) 在 λ⁺ 中有界，即 [f]_∈*_ [cα]_，α＜λ⁺ ，因此 i(λ⁺)＝⋃α＜λ⁺ i(α) ；但与此同时，由于 id：λ⁺ → λ⁺ 满足 [cα] ∈* [id]∈[cλ⁺] ，因此 j(λ⁺)＞⋃α＜λ⁺ j(α) ，因此 j(λ⁺)＞i(λ⁺) 。进一步注意到：对于任意 ξ＜i(λ⁺) 都有 s(ξ)＝ξ 且 s(i(A))＝j(A) ，因此 j(A)＝i(A) ，则有 M＝L[j(A)]＝L[i(A)]＝N ，定理成立。 ⊣

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