一阶算术的小trick

我们知道鲁宾逊算术 Q 是 Σ₀ 完全的，进而是 Σ₁ 完全的，即如果标准算术模型

𝕹 ⊨ ∃xφ(x) ，其中 φ(x) 无量词，那么 Q⊢∃xφ(x) 。事实上可以更进一步：假设 Q⊢∃xφ(x) ，那么存在 n 满足 𝕹 ⊨φ(¯n) ，由于 Q 是 Σ₀ 完全的，因此 Q⊢ φ(¯n) 。换言之，如果对某个存在公式 ∃xφ(x) 是 Q 的定理，那么一定存在某个实例 n 满足 φ(¯n) 是 Q 的定理。例如，如果哥德巴赫猜想为假，那么存在一个大于4的偶数 m 不能表示为两个奇素数之和，那么 Q⊢ ¬G(¯m) ，其中 G(x) 表示“满足哥德巴赫猜想”。

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