数学联邦政治世界观
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勒布定理

假设算术公理系统 S ,称 P 是 S 的可证性谓词,当且仅当 P 满足以下三个条件:

1. 如果 S⊢ψ ,那么 S⊢P(⌈ψ⌉) ,其中 ⌈ψ⌉ 是 ψ 的哥德尔编码。下文中我们直接用 Pψ 表示 P(⌈ψ⌉) 。

2. S⊢P(ψ→φ)→(Pψ→Pϕ) 。

3. S⊢Pψ→PPψ

可以证明“存在 x 编码了公式 ϕ 的证明”是算术系统 PA 的一个可证性谓词。下文中我们直接令 PA=S ,令 P(x) 为“存在 x 编码了公式 ϕ 的证明”。

在哥德尔第一不完全性定理中,罗瑟(Rosser)定义了一个语句 G ,使得 PA⊬G 且 PA⊬¬G ,进而证明了 PA 不是完全的。这个语句 G 可以简单理解为“ G 不可证”,类似于说谎者悖论。那么如果一个语句陈述自己可以被证呢?即语句 ϕ 满足 ϕ↔Pϕ 。如果这样的语句存在,那么它会有什么样的性质呢?

勒布定理:如果 Pψ→ψ 是 PA 的定理,那么 ψ 是 PA 的定理。

证明: P(x)→ψ 是含有一个自由变元的公式,根据不动点引理,存在公式 φ 满足 φ↔(Pφ→ψ) 。根据条件 3 可得 Pφ→(PPφ→Pψ) ,根据条件 2 可得 Pφ→Pψ ;由于 Pψ→ψ 是 PA 的定理,因此 Pφ→ψ 是 PA 定理,进一步得 φ 是 PA 定理,根据条件 1 可得 Pφ 是 PA 定理,则 ψ 是 PA 定理。因此勒布定理成立。 ⊣

由勒布定理可以轻松推出第二不完全性定理(Kreisel):如果 PA 一致,令 ⊥ 为矛盾式 0=1 ,那么 ⊢P⊥→⊥ 蕴含 ⊢⊥ ,即 ⊢¬P⊥ 蕴含 ⊢⊥ ,由于假设 PA 一致,因此 ⊬⊥ ,则有 ⊬¬P⊥ ,而 ¬P⊥ 就是“ PA 是一致的”,第二不完全性定理成立。 ⊣

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