直觉主义完全性（逻辑论文） (11-9)

本书一直假定，我们所讨论的一阶语言都是可数的。由于可数语言的公式集也是可数的（参见第三章「公式」一节），所以，有函数枚举所有的-公式。对于不可数语言，Lindenbaum 引理的证明需要集合论中的选择公理或与之等价的假设，具体证明参阅通行教科书（如 Ebbinghaus，Flumand Thomas 1984，或叶峰1994）。

③3.2称为强完全性定理，而3.3则是弱完全性定理。命题逻辑的弱完全性可以不用强完全性而通过构造性方法证明，就是说，这些方法提供了能行的过程，从一个重言式找到它的一个命题推演。而这里完全性的Henkin 证明则是非构造性的方法。

④公式的秩即公式所包含的联结词和量词的个数之和。具体定义见第三章第5节。

⑤具体的证明，本书不做介绍。读者可参考其他的教科书，如Ebbinghaus，Flum and Thomas (1984) 第 V 章第 3节，叶峰（1994）第三章第6节等。

⑥即|的基数│l│＝A的基数│A│，就是说，

l 与 A 之间有双射。等势的定义见第二章第4节。

Lindstom定理的证明，参见Ebbinghaus, Flum and Thomas (1984)

第XI，XI章。

⑧与此相反，关于数学的「柏拉图主义」认为，数学对象（数、函数、集合等）独立于我们的定义与构造而存在，数学理论描述客观的数学世界，因此数学命题非真即假，而其是真是假也不依赖于我们的构造或证明。经典数学和经典逻辑虽然不必然采取这种哲学上的「柏拉图主义」立场，但经常与后者联系在一起。

⑨注意，这里的「真」不是经典意义上的，而是直觉主义意义上的，相当于「可证」或「可构造」。下面提到的直觉主义「真」概念，都要在这个意义上理解。

⑩这样改变的 (∀l) 与原来的 (∃l) 的等价性，可以这样理解：原规则中关键变项 y 的所有出现都可以代以这里的常项 a，而不改变规则的构成；反之亦然。下面的 (∃E) 同样如此。但这里的新规则要求语言中有足够多的常项以供使用。我们在本节开始已经假设了这一点。

参考文献

Church,Alonzo (1936):A Noteon the Entscheidungsproblem, The Journal of Symbolic Logic, vol. 1(1936),reprinted in Davis(1965).Davis，Martin （1965）: The

Undecidable: Basic Papers on Undecidable Propositions,

Unsolvable Problems, and

ComputableFunctions,RavenPress Hewlett, New York, 1965.

Ebbinghaus, H. -D, Flum, J.and Thomas. W.(1984):MathematicalLogic， Springer-Verlag, New York,1984.

Felscher, Walter （2000）:

Lectures on Mathematical Logic,vol.

ll, Gordon and Breach SciencePublishers.Amsterdam,2000.

Frege, Gottlob （1879）:

Begriffsschrift, eine der

arithmetischen nachgebildete

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