直觉主义完全性（逻辑论文） (11-8)

⇔𝕶 ₚ(Φ，ψ₁)＝T或𝕶 ₚ (Φ，ψ₂)＝T (归纳假设)

⇔𝕶 ₚ(Φ，ψ₁∨ψ₂)＝T(定义8.2.2)。

4)φ是ψ ₁ →ψ ₂ 。

设 ψ ₁ →ψ ₂ ∈Φ。令Ψ∈l ₚ，使得 Φ ⊆ Ψ。如果𝕶ₚ (Ψ，ψ ₁)＝T，则由归纳假设，ψ ₁ ∈Φ。据Φ 的封闭性，ψ ₂ ∈Φ。再由归纳假设，𝕶ₚ(Ψ，ψ ₂)＝T。所以，𝕶ₚ(Ψ，ψ ₁ →ψ ₂)＝T。

反之，设ψ ₁ → ψ ₂ ∉Φ。那么，由Φ的封闭性，并非Φ ￾ ᵢ ψ ₁→ψ ₂ 。所以，并非Φ∪{ψ ₁} ￾ ᵢ ψ ₂ 。根据极大化引理(8.4.2)，存在素理论 Ψ，使得Φ∪{ψ ₁}⊆Ψ，且并非 Ψ￾ ᵢ ψ ₂ 。因此，Φ⊆Ψ，且ψ ₂ ∉Ψ。由归纳假设，𝕶ₚ(Ψ，ψ ₂)＝F。据定义8.2.2，𝕶ₚ(Ψ，ψ ₁ →ψ ₂)＝F。

5)φ是ψ。设θ为一矛盾句。

￢ψ∈Φ

⇔ ψ → θ∈Φ (├ ᵢ￢ψ ↔ (ψ→θ)，并且 Φ 对直觉主义推演封闭 )

⇔𝕶 ₚ(Φ，ψ → θ)＝T(根据4) )

⇔ 对任意Ψ∈lₚ，若Φ⊆Ψ，则 (𝕶 ₚ(Ψ，ψ)＝T ⇒𝕶 ₚ (Ψ，θ)＝T)

⇔ 对任意Ψ∈lₚ，若Φ⊆Ψ，则𝕶 ₚ (Ψ，ψ)＝F

(因为 𝕶 ₚ (Ψ，θ)＝F)

⇔ 𝕶 ₚ(Ψ，￢ψ)＝T(定义8.2.2)。

6) φ是∃xψ。设∃xψ∈Φ。既然Φ是素理论，那么存在项t，使得ψ (t / x) ∈Φ。t出现在Φ中，因此t∈D(Φ)。据归纳假设，𝕶ₚ(Φ，ψ (t / x) )＝T。由定义 8.2.2，𝕶ₚ(Φ，∃xψ)＝T。

反之，设𝕶ₚ (Φ，∃xψ)＝T。那么存在t∈D (Φ)，使得𝕶ₚ (Φ，ψ(t / x) )＝T。据归纳假设， ψ (t / x)∈φ。但 ￾ ᵢ ψ (t / x) →∃xψ。由Φ的封闭性，∃xψ∈Φ。

7)φ是∀xψ。留作习题。

现在，准备工作都已完成，让我们推导最后的结果。

8.4.5 直觉主义逻辑完全性定理 (Kripke) 设Φ 是语句集，φ为语句。

Φ╟φ⇒Φ￾ ᵢ φ。

证明：假定并非 Φ￾ ᵢ φ，那么，根据极大化引理，存在素理论Ψ，使得Φ⊆Ψ，但并非Ψ￾ ᵢ φ ──因此φ∉Ψ。Ψ既然是素理论，它就是𝕶ₚ的一个状态。由可满足性引理

(8.4.4)，Ψ＝Th (Ψ)。于是，Φ ⊆ Th (Ψ)，但φ∉Th(Ψ)。

以上证明了：如果并非 Φ￾ ᵢ φ，那么，存在Kripke模型𝕶(即𝕶ₚ) 和其中的状态 i (即Ψ)，使得𝕶 (i，Φ)＝T，而𝕶 (i，φ)＝F──就是说：并非Φ╟φ。

注释

①一致性是对于一个理论或主张的基本要求。含有矛盾的理论或主张，是荒谬的，或在逻辑上不可能成立。有一种观点认为，一致性提供了对于一个数学理论的根本性辩护（比如保证了这个理论谈论的对象的存在，等等)。在历史上，著名的希尔伯特方案，就是试图使用最初等的（有穷主义的）方法证明经典数学的一致性，而哥德尔的不完全性定理则表明，形式算术理论若是一致的，则这个一致性不能在这个理论里面得到证明（从而否定了希尔伯特原初想法的可行性）。

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