沃彭卡原理 (2-1)

沃彭卡原理：对于一些语言的任意真类结构，存在一个初等嵌入可以嵌入至另一个真类结构内的成员中。这一假设由于其不受限制的陈述和在集合 V.S. 类区分中显而易见的动机而引人注目。给定对于一些语言的一个真类 {Mα|α∈Ord} 的结构；它具有两个特征：一个是真子类，一个具有相同的理论。

而沃彭卡原理可以基于结构的元素的进一步相似性来导出：考虑到适当类的丰富性和类所定义强制的一致性，在Mα=⟨Vα，∈⟩ 这样的情况下一个结构应该是另一个结构的初等子结构。另一方面若 Mα=⟨Vα，∈，{α}⟩ 其中 γα＞α 以及有 Mα→Mβ 在 α＜β 的条件以及在singleton 谓词下是不成立的。然而，这可以通过在元素在 renaming 之前设置一个关联来纠正；即，一个初等嵌入j：Mα→Mβ 并且必须满足 j(α)=β . 从初等子结构到初等嵌入性的这一步，是一个进一步的强化。

C⁽ⁿ⁾基数：首先：对于每一个自然数 n令 C(n) 为一个包含序数 α 的 club 真类，并且在所有集合论宇宙 V 中具有Σn- 正确 的性质： Vα 为 V 的 Σn - 初子结构（elementary substructure）。

记作 Vα⪯nV.类 C(0) 为包含全体序数的真类。

C(1) 为包含所有不可数基数 α 使得Vα=Hα 的类。若有 α∈C(n) 那么对于每一个 β＜α 存在一个语句∃γ(β＜γ∧γ∈C)对于 parameter β 而言是 Σn - definable 且在 V 内为真。其中C 为拥有是 Σn -definable 性质的包含所有序数之 club proper class 且对于所有的 n≥1.接下来：

C(n) - Cardinals：作为所有的 C(n) 变体的统称，一个基数 κ 称之为 C(n) -Cardinals 当且仅当在临界点 κ 时存在一个传递集 M 满足 j(κ)∈C(n) 以及一个初等嵌入 j：V→M.λ

- C(n) - Tall Cardinals：一个基数 κ 称之为 λ - C(n) - Tall 当且仅当对于一些λ＞κ 在临界点 κ 处存在满足 j(κ)＞λ 以及j(κ)∈C(n) 的传递集 M 以及一个初等嵌入 j：V→M 使得 κM⊆M.最终：C(n) -Tall Cardinals：一个基数 κ 称之为 C(n)- Tall 当且仅当为 λ - C(n) - Tall 且对于所有的 λ＞κ.

Cardinal一个极限基数 δ 称之为 E0 当且仅当在临界点κ处存在一个非平凡初等嵌入

j：Vδ→Vδ变体。E0 with C(n)一个基数 κ 满足 E0 with C(n) ⟺ E0 同时n≥1 有 j(κ)∈C(n).若 κ 为 E0 并且通过j：Vδ→Vδ 所见证， δ 是一个极限序数。对于每一个 n≥1 以下命题是等一致的：a. jm(κ)∈C(n) 且对于所有的1≤m＜ωb. δ∈C(n)Proof.(draft)a→b：因为有 δ=sup{jm(κ)：m＜ω} . b→a ：Vκ以及 Vjm(κ) 且对于所有的 m≥1 ：都为Vδ 的初等子结构。

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