沃彭卡原理 (2-2)

m - C⁽ⁿ⁾ - E0 Cardinal：一个基数 κ 为 ω- C⁽ⁿ⁾- E0 Cardinal ⟺ 一个基数 κ 为 E0Cardinal一个基数 κ 为 m - C⁽ⁿ⁾ - E0Cardinal ⟺ m＜ω.若 κ 为 E0 并且通过j：Vδ→Vδ 所见证， δ 是一个极限序数：当且仅当 κ 是一个 Σ0 elementary（保留了有界公式和参数的真值。）的嵌入 k：Vδ+1→Vδ+1 的临界点。 j 唯一地extends 到一个 Σ0 elementary 嵌入k：Vδ+1→Vδ+1通过利用k(A)：=⋃α＜δj(A∩Vα) 满足所有的 A⊆Vδ.高跳基数一个基数 κ 称之为 Shelah-for-supercompactness 当且仅当对于每一个函数 f：κ→κ 并且存在一个基数 θ以及一个 Pκθ 上的 normal fine 测度 U使得集合 {A∈Pκθ|f(ot(A∩κ))＜ot(A)}是一个 U 的成员。一个函数称之为对于超紧致基数 κ 的 High-jump 函数那么是这样一个函数 f：κ→κ 使得 j(f)(κ)＞λ 无论是否 j 是一个 κ 上的 λ -supercompactness。Proposition. 令 κ为一个基数。那么存在一个对于 κ 的High-jump 函数当且仅当 κ 不是Shelah-for-supercompactness。Proof.(draft) 根据Shelah-for-supercompactness 定义可以给出其否定语句：存在一个函数 f：κ→κ 有初等嵌入 j：V→M 使得 Mj(f)(κ)⊈M . 这个语句断言了 κ 的 High-jump 函数。 ◻一个基数 κ 为 High-jump 当且仅当在临界点 κ时存在一个初等嵌入 j：V→M “间距”（clearance） θ 使得 Mθ⊆M ： M 包含了所有的长度为 θ 的 M 的元素序列。一个基数 κ 为 Almost High-jump当且仅当在临界点 κ 时存在一个初等嵌入 j：V→M以及使得 M＜θ⊆M 的clearance θ .一个基数 κ 为 Super High-jump 当且仅当存在拥有任意高clearance 的对于 κ 的 High-jump 嵌入。等价于：存在拥有高度为 Ord 的High-jump 嵌入。一个基数 κ 为 High-jump with unbounded excess closure当且仅当对于某些固定的 clearance θ对于所有的 λ≥θ 存在一个 Pκ(λ) 上的High-jump 测度会生成一个满足clearance θ 的嵌入。

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