数学论文（柏拉图主义与集合论终极宇宙） (8-7)

但是，弱扩张子模型是否存在呢到目前为止它只是一个抽象的概念。但有一些数学“证据”暗示其存在。

定理3.8(詹森，1974)L或者非常接近V或者离V很远。即以下二者必居其一:(1)对任意V中的奇异基数γ，γ在L中是奇异基数，并且(π+)L=γ+;(L非常接近V。)

(2)每个不可数基数在L中都是不可达的。(L与V相差很远。)

武丁则得到了关于HOD的类似结果。

定理3.9假设κ是可扩张基数，则HOD或者非常接近V，或者(在κ以上)离V很远。即以下二者必居其一

(1)对任意V中的奇异基数，γ在HOD中是奇异基数，并且(γ+)HOD=γ+;(2)所有大于κ的正则基数在HOD中都是ω-强可测基数。

假设存在可扩张基数，则无论哪种情况成立，HOD中都存在一个可测基数。因为如果(1)成立，则HOD是r是超紧基数的弱扩张子模型，r显然是HOD中的可测基数。而如果(2)成立，则更是显然。

HOD猜想HOD接近V，或者说，在ZFC内可以证明:在HOD中，{δ|δ是正则基数但不是ω-可测基数}是一个真类。

如果HOD猜想成立，则HOD是一个弱扩张子模型，反之亦然。

定理3.10假设κ是一个可扩张基数，则以下命题等价:

1.HOD猜想成立;

2.HOD是κ是超紧基数的弱扩张子模型。

那么，HOD猜想是否成立呢它会不会像CH本身一样是独立的呢从目前的证据来看，这似乎不可能。因为武丁证明，HOD猜想是脱殊绝对的:如果HOD猜想在V中成立，则它在V的所有脱殊扩张中都成立。所以不可能用力迫法证明HOD猜想的独立性，而力迫法又几乎是唯一证明独立性的手段。

还有一些支持HOD猜想的证据，目前已经知道的是以下这点与ZFC一致:ω1和ω2在HOD中是ω-强可测基数。但是，我们甚至不知道HOD中是否能够容纳4个ω-强可测的正则基数;也不知道对任意奇异基数γ，γ+是否是HOD中的ω-强可测基数;更不知道是否存在超紧基数以上的ω-强可测的正则基数。

如果HOD猜想成立，则HOD包含了一个弱扩张子模型，而这样的模型可容纳所有已知的大基数，因此是某种意义上的“终极L”模型。武丁还提出了这样一种设想，即，在不知道如何构造“终极L”的情况下，我们仍可以叙述公理!“V=终极L”

V=终极L公理

公理“V=终极L”包括以下命题:

(1)存在武丁基数的真类W;

(2)对任意∑3-语句ρ，若ρ在V中成立，则存在一个通用贝尔集ACR，使得

HODL(A，R)∩VθL(A.R)╞ρ

终极L猜想假设K是可扩张基数，则存在模型N满足;

(1)N是K是超紧基数的弱扩张子模型;

(2)NHOD;

(3)N╞“V=终极L”

定理3.11假设终极L猜想成立，则:

成立;

2.V=HOD;

3.Ω猜想成立。

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