数学论文（番外篇） (7-6)

事实是一个强极限基数，实际上是一个i不动点，以及i枚举的不动点-不动点（因此η以下任意大余数的i-不动点的极限）。这个最小∑n-正确序数具有余数ω，因此这些基数本身可以是单数。同时，基数κ是∑n，反映它是否是正则的和∑n-correct（或者，等价地，不可访问和∑n-correct）。这些概念的一个不同寻常的元数学微妙之处是，我们没有∑n-正确或∑n-反映基数的一致性概念，但是而是元理论中每个自然数n的一个单独概念。

例如，尽管我们可以在ZFC中证明俱乐部的存在∑n的C（n）对于元理论中的每个有限n的正确基数，我们无法证明甚至表达普遍断言“∑n-correct”κ、 “1类似地，当κ完全正确时发生的情况Vκ≺V，

也就是说，∑n对所有n都是正确的，不能用单个一阶表示公式，尽管可以将理论“Vκ≺V”表示为一个方案

在集合论的一阶语言中，用κ的常数符号扩充，断言κ对每个n都是∑n-正确的

令人惊讶的是，这个理论与ZFC通过一个简单的紧致性论证：该方案的每个有限子集都实现了在ZFC的任何模型中通过反射定理。特别是，从Vκ≺V|=ZFC我们可能不能得出V|=Con（ZFC）的结论，因为情况是V只分别知道ZFC的每个公理。

它在Vκ中成立——假设Vκ≺V是关于每个公理的方案

一般来说，我们可能不会把它们放在一起进行推断V满足断言“Vκ|=ZFC”

接下来，让我们定义基数κ是（∑n，0）-可扩展的——为了可读性，我们将在本文中将其缩短为∑n-可扩展——目标θ，如果Vκ≺n Vθ。更一般地说，κ是（∑n，η）-可扩展的，如果存在是∑n-初等嵌入j:Vκ+η→ Vθ，具有临界点κ，对于一些序数θ；这是κ是η-可扩展的一种弱化。请注意

任意∑n-正确基数对任意大目标都是∑n-可扩展的（因此，可以说它是超∑n可扩展的）。与∑反射一样，当n=0时，这个概念是平凡的，所以我们只考虑当n≥1。κ是∑1-可扩展的，由Vκ≺1Vθ见证，则κ必须是基数，强极限基数，i-不动点，i-定点枚举的不动点，从而得到任意大余数的i-不动点的极限低于κ。还要注意，如果Vκ≺n Vθ和n≥1，则这两个集合满足ZFC的鲁棒片段。例如，除了可拓性、基础、配对、并集、幂集和选择之外，我们还具有完全分离公理——形成完全泽梅洛理论ZC——仅仅因为这些模型具有

五、我们还得到了Vκ中∑n关系的集合公理，因为Vκ∈Vθ作为任何∑n性质的Vθ中的集合。所以这些是稳健的集合论的模型，即使它们不一定满足所有ZFC。

而基数κ和θ可能是奇异的——所以我们必须是

我们要警惕——∑n-集合公理恰好确保了它们∑n-正则，在不存在∑n-可定义奇点的意义上类函数。我们提到的元数学困难前面的∑n-正确的基数不会出现在∑n-可扩展的情况下基数，因为我们在这里没有提到V中的真值，而是Vκ和Vθ中唯一的真理，其中我们确实有一个n中的统一形式。

最后，为了明确起见，我们正式地说，一个大基数κ是对于一个给定的大的基本概念，如果它保留了这一点，Laver是坚不可摧的

每个＜κ-有向闭强迫扩张的大基数性质。

尽管这类强迫概念——＜κ-定向闭强迫——

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