数学论文（番外篇） (8-1)

注：（2/2）章节！

证据假设Vκ≺2Vλ对于某些λ≥η，也就是说∑2-在目标λ≥η的V中可拓，并且Q∈Vη是非平凡的策略上＜κ-封闭的强迫概念。假设走向矛盾V[G]κ≺3V[G]θ对于某些θ≥η，或者换句话说，κ是∑3-在相应的强迫扩展V[G]中与目标θ可扩展。

由于κ是i-不动点，也是θ-不动点（以及那些基数的枚举的不动点），此外，我们可以假设，∑3-只能扩展到这样的基数在不失一般性的情况下，通过增加η（如有必要），η也是i-不动点和i-不定点的枚举的不动点；

我们可以进一步假设cof（η）＞κ，简单地通过取（κ+）下一个这样的不动点，它仍然低于λ和θ。自Q策略上＜κ-闭合，因此V[G]κ=Vκ，因此可扩展性假设相当于Vκ≺2 Vλ和Vκ≺3v[G]θ。

根据元素性，λ和θ也是i不动点的枚举。特别是，这些基数中的每一个都是

κ以下任意大余数的i-不动点的极限。自从Q相对于η较小，因此V[G]η=Vη[G]，以及λ=Vλ[G]和V[G]θ=Vθ[G]。特别地，V[G]θ是一个非平凡的

通过G⊆Q∈Vθ强迫Vθ的扩张。它遵循应用的定理3

Vθ=WrV[G]θ

对于某个参数r，因此V[G]θ满足以下断言，

“对于某些参数r和非平凡偏序集Q，对于某些Wr一般滤波器G⊆Q∈Wr，宇宙是Wr[G]。”

我们声称这个断言是∑3-可在以下模型中表达的：

我们感兴趣的是V[G]θ、Vλ和Vκ。就像我们的例子一样，

在第2节中的复杂性计算中，我们可以在V[G]θ中验证通过检查越来越高阶的初始分段，宇宙是Wr[G]θ。具体来说，上面显示的断言是

相当于断言，“对于一些基数δ，参数r⊆（＜δ2） ，非平凡偏序集Q和滤波器G⊆Q，对于每个Z，如果Z=Vγ+2对于一些序数γ（也就是说，Z是我们解释的宇宙的Vγ+2如在V[G]γ+2等中的陈述），并且Z认为γ是i-固定的。共终点大于δ，其中VγZ|=ZFCδ，则Z认为存在一个M⊆VγZ

满足ZFCδ使得M⊆VγZ具有δ-近似和覆盖性质，使得r=（＜δ2）M和（δ+）M=δ+，并且使得Z=M[G]是M的强迫扩展。

通过M-一般滤波器G⊆Q∈M。“这个断言具有复杂性∑3，因为断言中关于Z满足什么的部分都有量词以Z为界，并且“Z=Vγ+2对于一些序数γ”的断言是π1，因为重要的部分是说Z计算它的幂设置正确。

现在从Vκ≺3V[G]θ得出，Vκ也必须满足断言，因此Vκ=WVκr0[G0]对于一些r0∈Vκ和Vκ-一般滤波器G0⊆Q0∈Vκ。特别地，Vκ满足“宇宙是通过G0⊆Q0强制Wr0获得的，“一个复杂度为π2（r0，G0，Q0）的断言，正如我们在第2节中所解释的，通过断言它在所有合适的秩初始段中都成立（这是一个量词秩不那么复杂，因为我们已经固定了参数r0、G0和Q0，而不是量化得到它们）。由于Vκ≺2 Vλ，因此如下

Vλ=WVλr0[G0]，使用相同的小参数r0和小强制G0⊆Q0。通过向下切到η，我们也得到了Vη=WVηr0[G0]。

根据地面模型指数的细节，我们可以假设

r0=（＜δ2）W

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