数学论文（建构性公理的多重宇宙观） (7-1)

注：（2/2）章节！

首先，观察3.1中表达了一个简单的观察结果，即L和V满足相同的一致性断言。对于任何可施工的理论T在任何语言中——我所说的“可建构”理论的意思就是T∈L，这适用于任何c.e.理论，如ZFC加上任何通常的大基数假设——可构造宇宙L和V的一致性T的一致性，因为它们从T得到了完全相同的证明。它由此，根据完备性定理，它们也有模型完全相同的可构建理论。

观察3.1：可构造宇宙L和V在任何可构造理论的一致性上是一致的。他们有相同的可构建理论的模型。

因此，这个简单的事实表明，当断言V=L时我们可能会继续做出所有相同的一致性断言，例如Con（ZFC+可测量基数），具有与我们可能希望在V中这样做，并且我们相应地找到了L中最受欢迎的强理论。也许怀疑论者担心L中的那些模型在某种程度上有缺陷？也许我们只发现了一些没有根据的模型我们在L？根据下面的定理，根本不是事实当我几年前第一次了解它时，我大开眼界。

定理3.2：可构造宇宙L和V具有传递模型集合论语言中完全相同的可构造理论证明：给定理论T具有传递模型的断言具有复杂性∑1.2.（T），形式为“有一个实编码一个满足T的有充分基础的结构”，因此它在L和V之间是绝对的绝对性定理，前提是该理论本身在L中。

因此，一个人可以有非常强的大的传递模型基数理论而不离开L。例如，如果存在传递性ZFC+理论的模型“存在一类适当的Woodin基数”，那么在L内部存在这样一个传递模型。定理有以下内容有趣的结果。

推论3.3：（Levy-Shoenfield绝对性定理）特别是L和V满足相同的∑1句子，参数可遗传计数。事实上，Lω1L和V满足相同的这样的句子。

证明：由于L是一个传递类，因此L是∆0-初等V的子结构，所以∑1的真值很容易从L向上到V。相反，假设V满足∃xΓ（x，z），其中Γ是∆0，z是遗传的，在L中是可数的。因此，V具有理论的传递模型，以及传递闭包z的原子图和一个双射的ω。通过观察3.1，可以看出L也具有这样的模型。

但是这个理论在L中的传递模型意味着根据需要，x∈L与ξ（x，z）。由于证人在L中是可数的，我们发现Lω1L中的见证。

相反，我们可以通过Shoen提供推论3.3的直接证明-域绝对性定理，然后将定理3.2视为结果，因为在中存在给定理论的传递性模型的断言L是关于该理论的∑1断言。

我现在想更进一步。L和V不仅具有传递性同样强大理论的模型，但更重要的是，任何给定的模型集合论原则上可以延续到V＝L的模型。首先讨论了可数传递模型hM，∈i的情形。

定理3.4：每个可数传递集都是可数传递集合ω-模型的充分成立部分。

证明：该语句在L内为真，因为每个可数传递集的元素是一些可数Lα的一个元素，它是传递的并且满足V=L。

此外，断言的复杂性是π1.2.，因为它断言对于每个可数传递集，都有另一个可数对象满足与其相关的某个算术性质。因此，通过肖恩菲尔德绝对性定理，这个说法是正确的。

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