逻辑论文 (15-1)

注意：本章为（Ω-逻辑）数学论文，共分（1/2）章节！

摘要在[12]中，Hugh Woodin介绍了Ω-逻辑，一种方法集合宇宙中的真理，灵感来自最近在大基数中的工作。对Ω-逻辑出现在[13，14，1，15，16，17]中。在这个本文给出了关于Ω-逻辑，相对到已发表的文献，导致Ω-逻辑和Ω-猜想。

介绍

现代集合论中的一个结果族，称为绝对性结果，表明某些大基数的存在意味着真理强制不能改变某些句子的值1.另一个家庭结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些正则性性质，这反过来意味着满足其他大型基数性质的模型。第一种类型的结果提出一种逻辑，在这种逻辑中，如果语句在每个强制扩展。经过一些技术修改，这是Woodin的Ω-逻辑，最早出现在[12]中。第二种类型的结果表明在Ω-思维方式Woodin提出了这样一个表征success被称为Ω-猜想关于Ω-思维方式以及Ω-猜想已经发表[1，13，14，15，16，17]。给我们简要讨论的技术背景Ω-逻辑，并证明这方面的基本定理。本文假定了集合论的基本知识，包括可构造性和强迫性。所有未定义的概念都可以在[4]中找到。

1.1.准备工作

给定V中的一个完整布尔代数B，我们可以通过对序数类on的递归来定义布尔值模型V B：

V0B=∅VλB=[β＜λ VβB，如果λ是极限序数VαB+1=｛f:X→ B|X⊆VαB}，然后，V B=Sα∈在VαB上。V B的元素被称为B名称。每一个V的元素x有一个标准的B名称x，归纳定义为：∅=∅，和x：{y：y∈x}→ ｛1B｝。

对于每个x∈VB，设ρ（x）=min{α∈On|x∈VαB+1} ，中x的秩V B。

给定参数为VB的集合论语言的一个公式，如果其布尔值为1B。，V B²

iff[[ξ]]B=1B，

其中[[·]]B由对（ρ（x），ρ（y））上的归纳定义，在正则序数对的良好排序以及公式的复杂性（参见[4]）。

VB可以被认为是通过迭代B值幂集而构造的活动模由[[x=y]]B=1给出的等价关系，VαB为精确地说，在布尔值模型VB的意义上的Vα（参见[4]）：

1.1号提案。对于每个序数α和每个完全布尔代数B、 VαB lect（Vα)V B

即对于每个x∈VB，（y∈VαB[[x=y]]B=1）iff[[x∈Vα]]B＝1B。

推论1.2。对于每个序数α和每个完全布尔代数B，VαB²ξiff V B²“VᲓ。

符号：

i） 如果P是偏序，那么我们写V对于V B，其中B=r.o.（P）是P的正则开完备（参见[4]）。

ii）给定M是集合论的模型，我们将为（Vα）M和MαB写Mα对于（VαB）M=（Vα）MB。

iii）Sent表示的是集合论。

iv）在集合论语言中，TŞ{ξ}将始终是一组句子，通常扩展ZF C。

v） 我们将为可数传递∈-模型写c.t.m。

vi）我们将为完全布尔代数编写c.B.a。

vii）对于A⊆R，我们将L（A，R）写成L（{A}ŞR），最小的传递性ZF的模型，包含所有序数、A和所有实数。

像往常一样，实数将是Baire空间的一个元素N=（ωω，τ），

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