STEEL计划：证据框架 核心与终极-L (12-8)

关于α。这对于α=0是清楚的，对于αa极限序数也是清楚的，只要它对所有序数都小于α。假设VαU⊆W，让我们展示VαU+1⊆W。请注意，VαU⊆W表示VαU∈W。这是因为x∈VαU iff W|=t（秩（V）<由Γ定义的唯一世界中的α）[x]。

因此，VαU可以用参数α在W中定义。

现在让Y⊆VαU，Y∈U。我们必须检查Y∈W。与2.2号提案一样，我们可以找到足够大的W Coll（，）|=我是X的强制扩展，对于某个世界X在由我生成的多元宇宙中，可以由ξ定义。

因此，U⊂W[H]对于所有的H Coll（，）-在W上是泛型的。因此，Y∈W[H]

例如H.Letting

▪Y∈W是Coll（，）-的名称Y、 我们有Y可在中定义W是所有x∈V的集合Uα

它们是由Coll（，）属于

▪Y。

因此Y∈W。

因此，如果多元宇宙中有一个可定义的世界U，那么它是唯一的，根据2.2号提案，它包含在MV的所有世界中。40很明显，由于核心，如果存在，是可定义的，核心存在当且仅当存在一个可定义的世界。

3.3.核心是V的地幔。我们接着介绍了基本结果，这表明，在足够强的假设下LC、V具有最小的接地。

定理3.5（Usuba[28，第72页]）。假设存在一个可扩展基数。然后地幔是V的基底。事实上，如果κ是可伸展的，V的κ-地幔是最小的地面。

现在由于所有接地都是向下的，通过使用定理3.5，我们现在可以

证明以下内容：

命题3.6（MVT多元宇宙核心的存在）。设T为ZFC+存在一个适当的可扩展基数类。那么MVT公理意味着多元宇宙有一个核心，它是多元宇宙中每个世界的地幔（和地面）。

证据根据定理3.5，多元宇宙的每个世界W的地幔MW是地面，因此由Axiom5的MV，它也是一个世界。现在假设U0和U1世界。通过合并，它们也是包含它们的某个世界W的基础。

因此，由于接地是向下定向的，所以MU0＝MU1。因此，所有多元宇宙的世界有着相同的地幔M，这是所有世界。因此，M可由以下公式定义∀U（U是一个世界→ x∈U）。

因此，根据定理3.4，地幔M是多元宇宙的核心。

3.4.主要假设的强度。根据命题3.6，如果M满足存在一个可扩展基数，则MG有一个核。这是合理的，询问定理3.5中的大基数假设是否可能被削弱为在一致性强度层次结构中较低的LC的级别；更一般地：

问题3.7。MVT对T的选择证明了其核心的存在多元宇宙？

下面的定理证明了一类适当的超紧的存在性基数不足以证明核心的存在，因此表明问题3.7中提到的选择T的阈值。

定理3.8。假设存在一类适当的超紧基数。然后有一个类强制概念，它强制存在一类适当的超紧基数并且没有核心。

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