补丁（2）集合论十大公理篇章序列论文 (4-1)

集合论的公理----ZFC

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）[策梅罗-弗兰克尔集合论]。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

集合论十大公理

1.存在公理 Exi

存在一个集合，

∀ x ( x = x ) . \forall x(x=x). ∀x(x=x).集合论的逻辑有一个本体论的承诺：我们所谈论的对象不能是虚无的，至少存在着一个集合。事实上，这个存在的集合就是无限集合。

2.外延公理 Ext

（Axiom of extensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。

∀ X ∀ Y ∀ z ( z ∈ X ⇔ z ∈ Y ) ⇒ X = Y . \forall X \forall Y \forall z(z \in X \Leftrightarrow z \in Y) \Rightarrow X=Y. ∀X∀Y∀z(z∈X⇔z∈Y)⇒X=Y.又，若x和y有相同的元素，则它们属于同一个集合：

∀ X ∀ Y ∀ Z ( Z ∈ X ⇔ Z ∈ Y ) ⇒ ∀ Z ( X ∈ Z ⇔ Y ∈ Z ) . \forall X \forall Y \forall Z(Z \in X \Leftrightarrow Z \in Y) \Rightarrow \forall Z( X \in Z \Leftrightarrow Y \in Z). ∀X∀Y∀Z(Z∈X⇔Z∈Y)⇒∀Z(X∈Z⇔Y∈Z).

这个公理表明，集合是由其元素决定的。

在集合论中，集合的元素也是集合。

3.分离公理模式 Sep

（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或称子集公理、概括公理、分离公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。

令 p ( u ) {p(u)} p(u) 为一公式，对任意集合 X X X，存在一个集合 Y = { u ∈ X ∣ p ( u ) } Y=\{u \in X| p(u) \} Y={u∈X∣p(u)}：

∀ X ∃ Y ∀ u ( u ∈ Y ⇔ u ∈ X ∧ p ( u ) ) . \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \Leftrightarrow u \in X \wedge p(u)) . ∀X∃Y∀u(u∈Y⇔u∈X∧p(u)).它实际上代表着无穷多条公理，对每一公式 p p p ，都存在对应的一个分离公理。它是对概括原则( ∀ p ( x ) , ∃ Y = { x ∣ p ( x ) } \forall p(x), \exists Y=\{x | p(x)\} ∀p(x),∃Y={x∣p(x)} )的限制。

分离公理还可以定义空集：

w 是 一 个 已 存 在 的 集 合 ， ∅ = { u ∈ w ∣ ¬ ( u = u ) } . w是一个已存在的集合， \varnothing = \{ u \in w\mid \lnot (u=u)\}. w是一个已存在的集合，∅={u∈w∣¬(u=u)}.由外延公理还可证明空集是唯一的。

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