补丁（4）格罗滕迪克论文部分篇章论文。 (3-2)

也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。

不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在 (即一个无限基数 κ 会使得Vκ⊨ZFC.它可以断言 Con(ZFC)

Grothendieck宇宙其实就是在 ZF 运算下封闭的一个类，其实质就是 Vκ，其中 κ 是一个强不可达基数。

不过比较有趣的是Grothendieck作出如下假设：对于任意集合 X，都存在宇宙 U 满足

X∈U。

这个假设等价于“对于每个序数都有比这个序数大的强不可达基数”，或者“存在无界多的强不可达基数”。

Grothendieck宇宙中不一定有不可达基数，而是说Grothendieck宇宙本身的高度和宽度是不可达基数。

比如说如果k是最小的不可达基数，那么Vk是Grothendieck宇宙，并且其中没有任何不可达基数Grothendieck宇宙的封闭性质使得它强于单纯的传递模型，例如说对幂集封闭导致了它必然是不可数的，而传递模型可以是可数的。

考虑到大部分数学命题涉及的集合不会超过

Vω+ω，（这里的两个欧米伽加欧米伽，应为小写右下角)Grothendieck宇宙是一个相当大的框架（不得不感慨集合论与其它数学分支相比是走得太偏又太远了）。

所有集合的全域可以如下递归地的定义：V0=ф，ф 是空集（φ=Φ，这里是格式错误）

Vα+1=P(Vα)，α 是任意序数

Vα＝∪α≺βVβ，α 是极限序数。

最后令V=Uα ∈ ONVα，ON是所有序数的类。

在 ZF 里可以证明 V 就是所有集合的全域。对任意集合 x，可以定义x在全域V中的秩，rank(x)=min{α：x ∈ Vα+1}，可以证明对每一

序数α，Vα就是那些所有秩小于 α 的集合构成的集合，即Vα={x：rank(x)≺α}

直观的说，每个集合都是由幂集算子“沿着序数不断迭代产生的，每个集合都在V的某个序数前段中被创造出来。

而类可能无法属于任何一个序数前段（即

Vα），真类与集合全域V一样“高”。

设 κ 是一个强不可达基数，那么Vκ 就是一个Grothendieck宇宙。

并且，我们可以证明Vκ是 ZF 的一个传递模型。

在假设选择公理的情况下，Vκ 也是 ZFC 的一个传递模型。

反过来，假设 U 是一个Grothendieck宇宙，那么它的基数|U|是强不可达的并且

U=Vκ，其中κ=|U|。

因此，存在Grothendieck宇宙与存在强不可达基数是等价的。

Vκ 虽然也是V的一个序数前段，但是 κ 对于它之下的那些序数是“不可达的”。

对于 κ 之下的那些序数来说，κ 就像所有序数的类ON一样，而Vκ 对于那些属于 Vκ 的集合（即秩小于 κ 的集合）就像所有集合的全域V一样。

所以，在范畴论里将某个宇宙U元素称为“集合”无非就是指那些秩小于某个强不可达基数的集合而已。

通过假设存在Grothendick宇宙U，我们可以自由地谈论那些（相对于ZFC的）“大范畴”。

通常，我们会添加Tarski-Gronthendieck公理：

对任意集合x，都存在一个宇宙U，使得

x∈U。

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