补丁（4）格罗滕迪克论文部分篇章论文。 (3-1)

容易引起莫名争议的问题是全域( unverse),也经常被称为Grothendieck(格罗滕迪克)全域1.⁾在ZFC的基础上，全域是一个不可数的传递集合U，使得(∪，∈)以最好的方式满足ZFC公理：它包含每个元素的幂集( powerset)，且对于任何从 ∪ 的一个元素到 ∪ 的函数，其值域仍是 ∪ 的一个元素.这就比仅仅说(∪，∈)满足ZFC公理强得多我们不是仅说当所有量词( quantifier)为相对U时幂集公理“每个集合有幂集”为真.而是要求“对每个集合x ∈ ∪，x的幂集仍在U中 ”，在这里x的幂集的定义中没有一个量词是相对于 ∪ 的.看起来像 x 在 ∪ 内部的幂集的东西必须是在更大的集合环境中看起来是x的幂集.类似地，关于函数的像集的条件也比(U，∈)满足相对于 ∪ 的替代公理范式( replacement axiom scheme)更强.这一条件说任何从 ∪ 的一个元素到 ∪ 的函数,如果在更大的集合环境领域中存在，则它本身是 ∪ 的一个元素.这个附加的强度保证了应用于 ∪ 中的集合的任何集合论构造，无论它是在 ∪ 的内部还是在更大的集合论域中，都将＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

译自： The Bulletin of Symbolic Logic， Vol 16 (2010)，No.3, p.359-377， What does it take to prove Fermat's last theorem? Grothendieck and the logic of Number theory，Colin Mclarty. Copyright Ⓒ2010 the Association for Symbolic Logic. Reprinted with permission. All rightseserved.符号逻辑学会与作者授予译文出版许可.

Colin Mclarty是美国 Case Western Reserve大学的哲学系和数学系教授.他的邮箱地址是colin. mclartycase

[1]参阅 Grothendieck[1971]以及更完整的叙述 Artin et al.[1972,vol.I1p.185-217].我们把这些书分别简写为SGA1和SGA 4.─原注

第二方案：格罗滕迪克宇宙的定义

ZFC宇宙v的子类u是格罗滕迪克宇宙：

　　1.如果x∈u，y∈x，则y∈u（关于∈的推移性）

　　2.如果x，y∈U，则{x，y}∈U（关于配对的结构是闭合的）

　　3.如果x∈U，则Pow（x）∈u（关于幂集合是闭的）

　　4.l∈U，f：l→U，则∪（f）∈U（关于族的合并是封闭的）

　　5.U∈V（V的元素）

　　6.ω∈U（具有无穷集）∪（f）是∪i∈lf（i）的缩写。

　　ω是集个自然数的集合。

　　如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。

　　但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。

　　low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。

　　空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子）。

　　也可以制作只包含有限集合的预宇宙。

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