特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-2)

4“以同样方式”指的是：假设 j1 = {x ∈ M1 | M1 ╞ φ[x，p1]}，则 j0 = {x ∈ M0 | M0 ╞ φ[x，p0]} 且 j0(p0) = p1.

5当我们谈论一个集合论模型（M,∈M）时，往往会简写为“集合论模型 M”，此时，我们考虑的是一个结构，而不仅仅是一个集合.

由于这里所涉及的集合论模型不一定是传递模型.从外面看，它们的“属于”关系不一定是真正的属于关系的一个子类.所以，同一个对象，从外面看和从一个非传递的集合模型 N 看，可能包含不同的元素.我们一般用上标 0 来强调我们指的是模型 N 中的一个对象，用上标 1 来表示我们指的是 N 把该对象理解成的那个集合.例如， N = Ult(V,U)是一个超幂(U 是序数 α 上超滤). N 中的元素都是形如 [f]U 的集合.其中 f 是从 α 到 V 中的函数， [f]U 是 mod U 的等价类。从外面看 [f]U 是由所有与 f 等价的函数组成的集合，我们用 α0 表示这个对象，即 α0 ={g | g ~U f}= [f]U。而在 N 看来， [f]U 所包含的元素是那些 [g]U。从外面看，那些 g 满足对大部分 s有 g(x) ∈ f(x) (记为 g ∈U f)。此时，我们用 α1 来表示， N 所理解的 α0，既 α1 ={[g]U | g∈U f}.

结构(m1,E1)是从外面看对 N 所理解的(m0,E0)的理解.对任意 x,y ∈ m1，

(m1,E1) ╞ x ∈ y (即 xE1y)当且仅当 N ╞ ┌ (m0,E0) ╞ x ∈ y¬。而 x ∈ m1 当且仅当 x ∈ N 且 N ╞ x ∈ m0。因此，对公式复杂度简单地归纳就可以得出：任给集

合论公式 φ 和 x1,...,xn ∈ m,

(5.2.1) (m1,E1) ╞ φ[x1,...,xn] ⇔ ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[x1,...,xn]¬

注 5.2.3 我们说,“集合模型 M1 认为别 j1：M1 → M2 是一个初等嵌入”（ j1 和 M2 是 M1 中参数可定义的类)，严格地是在说， M 认为 j1 是从自身到 M2 的 Σ0 初等嵌入(对任意 Σ0 公式 φ(x) 有, M1 ╞ φ[α] 当且仅当 M2 ╞ φ[j(α)]).这样定义是因为，M 中无法定义自己的真谓词，因而无法真正说 j1 是初等嵌入。但 M1 中可以说 j1 是 Σ0 初等嵌入。并且从外面看，如果 j1：M1 → M2 是 Σ0 初等嵌入，那么从外面可以归纳地证明它确实是初等嵌入，核心归纳步骤如下.

假设 M2j(β) ╞ ∃xφ(x)，那么存在序数 α OrdM2 使得， VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。由于 j1 是一个共尾嵌入，即总存在β ∈ M1 使得 j(β)＞α，我们选取足够大的 β 使得 VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。即 M2 ╞ ∃x ∈Vj(β)φ(x)。而 ∃x ∈Vj(β)φ(x)的复杂度不比 φ 更高，所以我们可以运用归纳假设，得到 M1 ╞ ∃xφ(x).

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