特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-1)

复宇宙

Hamkins 在[20]中的一些地方表现出他更强调那些集合论模型的实在性.其中最有代表性的是他对复宇宙（multiverse）3的描述.类似于传统实在论所假设的绝对的集合论宇宙(包含着所有的集合)，多宇宙观的复宇宙是由所有的集合论宇宙组成的那个绝对的宇宙. Hamkins 强调:“我们不期望从一个宇宙能够看到整个复宇宙”[20,23].这里，多宇宙观的复宇宙，类似于传统实在论的集合论宇宙，是一个绝对的概念.即，凡是能够被想象的集合论宇宙都在其中，超出复宇宙这种想法本身是不一致的.

Hamkins 在[20,4]提到了 von Neumann [46, 412]考虑到的一种情况：“一个集合论模型可以是另一个集合论模型中的集合，而且一个集合可以在前一个模型中是有穷的，而在后一个模型看来是无穷的；类似地，前一个模型中的良序在后一个模型看来可以有一个无穷下降链.”这为人们对复宇宙内宇宙间的关系的理解提供了一些直观.

5.2.1 复宇宙公理及其一致性

类似于一些集合论公理描述了集合论宇宙的丰富性，即集合论宇宙在集合存在和集合运算下的封闭性， Hamkins 提出了一组复宇宙公理力图展现复宇宙的丰富性，即存在很多的集合论宇宙，并且复宇宙在集合论宇宙之间的一些关系下封闭.

定义 5.2.1 （复宇宙公理）假设 M 是一个由 ZFC 模型组成的非空类.我们说 M 是一个复宇宙，但且仅当它满足：

(1)可数化公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M 中的一个模型 N，使得 M 是 N 中的一个可数集合.

(2)伪良基公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M中的一个模型 N，使得在 N 看来，结构 M 上的关系 ∈ω 是一个莠基的关系.

3作者将 multiverse view 译作多宇宙观，这是与传统集合实在论，也即被多宇宙观称作唯一字宙观(universe view)相对的概念，而这里的复宇宙是指多宇宙观所理解的包含所有集合论宇宙的那个宇宙。

(3)可实现公理：对任意 M 中的模型 M，如果 N 是 M 中参数可定义的类,并且 M 认为 N 是 ZFC 的模型，那么 N 在 M 中.

(4)力迫扩张公理：对任意 M 中的模型 M，如果 P 是 M 中参数可定义的偏序 (类)，那么存在一个 P上的 M 脱殊滤 G，使得力迫扩张 M[G]在 M 中.

(5)嵌入回溯公理:对任意 M 中的模型 M1若 ji, M2是 M1 中参数可定义的类且 M1 认为 ji ：M1 → M2 是一个初等嵌入，那么存在 M 中的一个模型 M0，M0认为以同样方式4定义的 j0 ：M0 → M1 是一个初等嵌入，并且 j1 = j0(j0).

注 5.2.2 我们说,“集合论模型(M,∈M)5是 N 中的一个元素(集合)”或“M 在 N 中”，是指存在集合 N 中的一个元素 α0， N 认为该元素是由 m0, E0 组成的有序对且 E0 是 m0 上的一个二元关系，且 N ╞ α0 = (m0,E0)ΛE0 ⊆ m0×m0，而从外面看集合 m1 = { x ∈ N | N ╞ x ∈ m0} 及其上的关系 E1 = {(x,y) ∈ N × N | N ╞ xE0y}组成的结构(m1,B1)同构于集合论模型 M.

图 5.2.1：非传递模型的错觉

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