特殊篇章世界基数（第二方案） (15-11)

翻版。如果存在从集合x到y

的单射，则定义|x|≤|y|。如

果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|

=|y|。这就是著名的康托

尔-伯恩施坦定理。对于任

意的集合x和y，有|x|≤|y|

或者|y|≤|x|，当且仅当选择

公理成立。可良序化的集合

的基数称为良序基数。每一

个良序基数都是序数。因

此，若设定某一选择公理，

则每一个基数都是序数。对

任意的序数α，存在大于α

的最小良序基数，记为α。

由此可见，所有的良序基数

构成序数全域的一个无界的

子类，即为真类。因此，可

以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得

∀α＜β（（α））＜（β）），式中读做“阿列夫”。还常用α代替（α），表示第α个无穷良序基数，用ωα表示Nα的序型

故N0=ω0=ω

Nα+1=ωα+1=Nα 。若α为

极限序数，则

Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是极限基数，当且仅当α是极限序数。

终极层级

哥德尔的可构造宇宙

L的构造：Lo=∅

L1=Def(Lo)=Def(∅)={∅}

...

Ln+1=Def(Ln)

...

Lω=Lo∪L1U...ULnU...=ULk

K＜ω

...

Lλ={Def(La) 若λ=α+1

{U LK 若λ是极限序数

K＜λ

L=ULK，K跑遍所有序数

K

第一方案构造：终极L

内模型计划(Inner Model program)

简单地说,设V是真实的集合论宇宙,但由于哥德尔提出的集合论内模型L无法容纳大基数的存在。

在此之后的集合论学家们所做的就是:构造类似于L的内模型,同时能够容纳大基数。

Woodin证明了:如果存在一个类似于L的模型M,它能容纳一个超紧致基数(supercompact) ,那就存在一个模型UU可以容纳已知的所有大基数; U非常接近集合论宇宙V。Woodin将这个模型U称为终极L(Ultimate L)

摘自知乎作者Ember Edison

V=终极-L的直接推论

(Axiom Icarus set) 见证最大基数Icarus的存在性。 (Woodin) 见证真类多的Woodin基数。

(L-like) 是最大的内模型。(ADR-like) 见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。

(Ordinal Analysis) 拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）

(Regularity property) 见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言（虽然具体的值我未曾找到）

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