否定
如果我们认为K3中的否定是代表自然语言否定，K3的“内部”，PresupPosition保留否定〜始终返回Bochvar的三维逻辑B3中的外部，PresupPosition取消否定¬经典价值。 真相函数f¬由下表定义：
f¬
1 0
我1
0 1
还可以使用可能的世界模型的机器来在语义上定义各种否定概念。 否定被视为模态运算符。
2.2作为模态运营商的否定
由于莫代尔运营商是一元连接，因为存在不同的含有含有的含量（必要的真理）和含有实际可能性（可能的真理），那么一个相当自然的问题，那么可以以透露方式分析否定方式作为模态运算符，请参阅模态逻辑的条目。
非常着名的模态逻辑是正常的模态逻辑，具有所谓的世界语义，利用可能的世界之间的双位关系。 稍微少少了众所周知的是经典（或同时）模态逻辑（Segerberg 1971，Chellas 1980，Pacuit 2017）。 在古典模态逻辑系统中，在古典模态逻辑系统中对必要的模态运算符◻的最薄弱要求是同时属性：
⊢a↔b/⊢◻a↔◻b
（“如果Aïb可提供，那么也是◻a↔◻b”）。 然而，这种财产肯定不是违法的。
古典模态逻辑在所谓的最小模型方面具有语义，也称为邻域模型。 邻域模型是一个结构M =（W，N，V），其中W是一个非空的可能世界集，n是分配给来自W的每个W的函数，被称为W的邻域的SEAS N（W），并且V是估值函数映射原子公式到他们所在的世界。 让[[a]]成为一个公式A为真的的世界。 然后◻a被定义为在Model M中的世界W（符号：M，w⊨◻a）IFF [[a]]∈n（w）。
在Ripley 2009中，建议使用邻域语义作为否定连接作为必要性运算符的语义捕获特征的一般框架，另见yu 2010. Ripley指出，例如，对施加统治
a⊢b/◻b⊢◻a
在每个w∈w的邻域模型（W，N，V）IFF中是有效的，N（W）在子集下关闭，即，如果x∈n（w）和y⊆x，则y∈n（w）。 在解释否定核心方面的概念方面，对邻域函数n有一个令人信服的直观的理解很好。 如果[[a]]∈n（w）被理解为说，由a与世界W表达的命题是不相容的，那么上述约束会出现合理，因为它表示，如果世界一组（命题）x与w不相容，则暗示x，那么也与W不兼容。 虽然Ripley以积极的概念开始（m，w⊨◻a[[a]]∈n（w）），以便引入否定〜，一个人也可以规定m，w⊨~a[[a]]∉n（w），以便获得更明显的否定不可能运算符的连接（虽然它是经典否定的◻a的条款）。 这个想法是n（w）包含与w兼容的世界集，因此[[a]]∉n（w）表示由a表示的命题与w不兼容。 作为“不必要的”运算符¬在（“可能不是”）中的否定，然后由M，w⊨¬aIFF定义
¯
[[一个]]
∈n（w），在哪里
¯
[[一个]]
是[[a]]关于w的互补。结果，在态度的情况下是真实的，所以通过a表达的命题的补充是兼容的。
该语义验证了同时的相应版本（⊢a↔b/⊢~a↔~b⊢~a↔~b和⊢a↔b/⊢¬a↔¬b-b），但它尚未对否定产生任何有趣的限制。 为了排除某些世界W和公式A，w∈[[a]]和w∈[[~a]，一个人必须规定每组世界x，如果w∈x则x∈n（w），这在兼容性读数下有意义邻域函数n是因为它说如果x在w处于true，则x与w兼容。 为了验证对施加，必须需要，如果x⊆y，那么{w |w|y∉n（w）}⊆{w | w |w|x∉n（w）}。 在N的兼容性读数下，这个条件说，如果命题x意味着，每个世界y都与世界x不相容，也是不兼容的，如果命题x意味着命题Y.可以施加类似的条件，以适应需要互补的双重否定。
然而，正常模态逻辑的关系语义确实致力于否认否定理解为不可能或不必要的实质性。 作为正常不可能运营商的否定分析可以追溯到Birkhoff和Von Neumann（1936）和Goldblatt（1974）在量子逻辑中的否定工作。 它是由Vakarelov（1977,1989B）和Došen（1984,1986,1999）开发的，并进一步调查了Michael Dunn的Gaggle理论的代数环境（见Bimbó和Dunn 2008）由Dunn（1993,1996,1999）和Dunn和周（2005）。 关系模型（或Kripke模型）是一个结构M =（W，R，V），其中W是非空的信息状态，R是W的两个地方“可访问性”关系，而V是估值函数。 DUNN表示⊥（发音为“PERP”）的可访问性关系，并将其视为状态之间不相容或正交性的关系。 否定是不可能的，由〜，然后通过假设~a在模型中的州W在模型中的状态下进行语义定义，与所有状态U（来自W）的状态不兼容，其中a为真：m，w⊨~a（每个U：m，u⊨a意味着w⊥u）。 或者，关系R可以被理解为状态之间的兼容性关系，由C.M表示，然后通过要求每个U来定义w⊨~a：WCU意味着M，u⊭a。 因此，由¬表示不必要的否定，由以下条款定义：M，w⊨¬aIFF（使用WCU和M，u⊭a存在U）。
它证明了在各个州W的另一个二进制关系中通过另一个二进制关系来丰富上述关系语义。认为≤被假定为部分顺序（即，它是反身，传递和反对称的），这允许人们思考它作为可能的信息状态扩展的关系。 对于这样的读取，假设原子公式P的真实性相对于≤：如果W≤u和m，w⊨p，则为m，u⊨p。 ≤和C的条件以及复合公式的真理条件应该是这样的持久性（也称为遗传）对任意公式持有，特别是对于否定作为不可能的否定的公式~A。 兼容性模型是一个结构（W，C，≤，v），其中（w，c，v）是克莱波克模型，≤是w上的部分顺序，满足以下条件，这保证了否定的公式~a的遗传：if wcu，w'≤w和u'≤u，然后w'cu'。 该条件是对兼容性帧（W，C，≤）的约束，其中模型（W，C，≤，V）是基于的。 条件不仅有用（如将变得清晰），而且也是合理的，因为它说两个信息状态，其扩展是兼容的，本身就是兼容的。
我们现在可以定义一个搜索A 1b在兼容性模型IFF中有效，因为在该模型中的每个州W的兼容性模型IFF中，如果A在W处是真的，则B; 在基于该帧的每个模型中，A 1B在兼容性帧中呼叫有效。 规则在帧IFF上有效，因此该帧上的房屋的有效性保证了结论搜索在框架上的有效性。 来自列表（21）的对机规则对任何兼容性帧有效。 如果被对比表达的秩序反演被视为否定的基本属性，则通过在兼容框架上的条件表征这些原则，可以通过将进一步的原则和语义进行语法来句法地获得更强的否定的等级。，C，≤）或关系帧（W，C）。 这一思路从邓恩1993年否定的“风筝”导致了否定的“不平衡的风筝”，在2005年的Shramko，Dunn和周2005年举行的否定否定情绪，参见Onishi 2015。
关于术语的一个注释。 在DUNN 1993中，验证验证对施加规则的否定操作被称为小组级。 来自1992年的未发表的文件中的艾伦哈滕以1992年的否定语言为否定的语言而使用术语，结合，分离和直觉暗示，以表示未能验证直观有效的否定de Morgan Searent（~a∧~b）⊢~〜（a∨b）和经典但不直观地有效〜（aəb）⊢（~a∨~b）。 邓恩使用“小组初”术语的使用与Hazen不同。 在邓恩和周2005中只有单一的否定使用，使用了词汇，通过联合和分离，以及否定，结合和分离的一个，以及仅限否定的人，集中否定被称为前瞻性否定。 此外，来自DUNN 1993年的否定否定否定在DUNN和周2005中称为准微，因为它们缺乏负面的EX矛盾，否定在通常所谓的（约翰逊）最小逻辑中的否定属性Kolmogorov 1925和Johansson 1937.在Vakarelov 2005中，“小集中否定”一词用于表示否定的否定比Kolmogorov和Johansson的最小否定。 Vakarelov与David Nelson的强烈否定（见下文）以包含真相常数⊤的语言介绍了他的小型否定（见下文），这在最小的逻辑中可定义。 Vakarelov的小组会否定，¬验证了对施加规则，但未能验证。 Colacito，De Jongh和Vargas 2017定义了一个名为“Maplimal逻辑”的系统，另见Niki（2020）。 他们的集中否定被添加到正直觉逻辑的语言中，因此，特别是包含直觉含义。 通过添加一致性公理方案（a↔b）→（¬a↔¬b）来从正直觉命题逻辑获得基本的集中逻辑。 在2.3节中，我们将在小组逻辑中恢复小区否定。
如果不假设兼容性关系是对称的（尽管可以说出状态之间的兼容性是对称的关系），则可以区分两个否定操作~1和〜2，使得~1a在状态w中为真实的状态在与W兼容的每个状态下都无法呈现，而在每个州W的情况下，何时在每个州W兼容时
m，w。⊨~1aiff（wcu意味着m，u⊭a）;
m，w。⊨~2a〜2a iff（UCW意味着m，u⊭a）。
这两种否定形成了一个所谓的伽罗尼亚连接，这意味着一个a⊢~1biffb⊢~2a〜2a。 否定~1和~2称为Galois否定或分裂否定; 他们都是前瞻性否定，满足以下互动原则：a⊢~1~2a〜2a; a⊢~2~1a。 在2016B的WANSING中可以找到对分裂否定的讨论。
如在DUNN 1993,1996中所述，如果假设对施加，则双否定引入A 1〜~A是相互衍生的建设性对施加A∈αb/b⊢~a，如果假设建设性对比，则双否定消除是相互互动的衍生与古典对象~a⊢b/~b⊢a。 还要注意，在存在双否定引入和消除时，可以派生~a ~b /b⊢a。 示威活动仅使用衍生能力关系的反射性和传递性⊢。 因此，上述否定法律列表导致否定的不平衡“风筝”（参见DUNN和ZHOU 2005）：
[图5的6分，5个与松散五角形中的线连接，下面的一条线连接到五角大楼。 这些点以顺时针顺序标记：'de morgan \ sim \ sim a \ vdash a'，'ortho'，'直觉a \ vdash b，a \ vdash \ sim b / a \ vdash c'，'minimal a \ vdash b，'minimal a \ vdash b，a \ vdash \ sim b / a \ vdash \ sim c'，'准次数a \ vdash \ sim b / b \ vdash \ sim a'，以及连接到最后一个标记为'上一\ vdash b / \ sim的独奏点b \ vdash \ sim a'。]
图3
该图中的图形布置应理解如下：如果将搜索或搜索规则分配给节点n，并且节点n'放置在n下方，则借助于分配的搜索或序列规则，可导出分配给n'的搜索或搜索规则ñ。
ortho否定满足不平衡风筝中显示的所有原则。 在逻辑中的逻辑否定与分发的逻辑（或同等地，分布在结合）的逻辑中，被称为布尔或经典否定。 在某种意义上，布尔否定是唯一确定的，如果~1和〜2是布尔否定，那么~1a和〜2a是间移动的; ortho否定不是独特的确定，请参阅剩余的2000年，以及Connectives Humberstone 2011的唯一性以及在正式逻辑中的句子连接的条目。
邓恩和周的不平衡风筝的否定原则对应于兼容框架性质的模态对应理论意义。 规则R对应于属性E IFF在帧满足E. Greg Restall（2000）的情况下，规则R对兼容性帧有效，观察到双否定消除对应于C的属性和信息状态的可能扩展的关系≤，另一个否定原则已被证明仅对应于兼容关系C的属性C，参见Dunn 1996，Dunn和Zhou 2005，Berto 2014.在下列名单中，“＆”表示结合，“⇒”表示布尔暗示，和“∀”和“∃”分别是指在Metalanguage中的通用和存在量化：
a⊢~~a∀x∀y（xcy⇒ycx）
a⊢b，a⊢~b/a⊢~c∀x∀y（xcy⇒xcx）
a⊢b，a⊢~b/a⊢c∀x（xcx），∀x∀y（xcy⇒ycx）
~~a⊢a∀x∃y（xcy＆∀z（ycz⇒z≤x））
单独C的以下首级属性也对应于双重否定消除：
∀x∃y（xcy＆∀z（ycz⇒（z = x）））。
我们可能会观察到DUNN和周的否定否定的否定否则可以平衡，例如，通过插入搜索模式~~~ ~A。 该模式对应于C上的以下一阶条件（根据SQEMA算法计算的用于计算由于Georgiev，Tinchev和Vakarelov（参见其他因特网）：
∀x∀y（xcy⇒∃z（xcz＆∀u（zcu⇒ucy）））。
[图6的图表为6，6与六边形中的线连接，并在下面的一行连接到六边形。 这些点以顺时针顺序标记：'弱de morgan \ sim \ sim \ sim a \ vdash \ sim a'，'de morgan \ sim \ sim a \ vdash a'，'ortho'，'直觉a \ vdash b，a \ vdash \ sim b / a \ vdash c'，'最小a \ vdash b，a \ vdash \ sim b / a \ vdash \ sim c'，'准inimal a \ vdash \ sim b / b \ vdash \ sim a'，以及独奏点连接到最后一个被标记为'上一\ vdash b / \ sim b \ vdash \ sim a'。]
图4
作为不必要的否定产生了一种否定的双重不平衡的否定风筝，可以与不平衡的风筝结合成“团结的”否定，参见Shramko 2005，Dunn和Senth 2005，以及第2.4节。 2009年里勒斯可以找到否定的否定含量的包容图。
虽然满足对比度规则a⊢b/~b⊢~a~A是否定作为正常不可能运营商的基本属性，但是存在有必要的联系，这些连接被称为否定，尽管它们不满足对施加。 除了已经提到的逻辑K3，3英镑和LP之外，具有不可变形的否定的逻辑的突出示例是纳尔逊的逻辑N3，N4和N43的建设性逻辑，具有所谓的强烈否定（见纳尔逊1949; Gurevich 1977; Almukdad和Nelson 1984; Wansing 1993; Dunn 2000; Odintsov 2008）。 这些逻辑包含直观的含义作为原始连接。 然而，纳尔逊（1959年）还考虑了N3的变种，具有可逆的强烈否定。 在该系统中，收缩公理
（一个→（一个→b））→（一个→b）
被替换为
（一个→（一个→（一个→b）））→（一个→（一个→b））。
这种替换避免了古典逻辑的崩溃。 强烈的否定被称为“强烈”，因为它捕捉到否定的概念，作为明确的虚假，因为在系统中，否则公式的强烈否定会导致其直观否定。 N4的联合，分离和强否定片段与第一学位征集FDE的逻辑恰逢邓恩和Belnap的有用的四价逻辑（Belnap 1977a，B; Dunn 1976; Omori和Wansing 2017）。 有趣的是，如上所述的对矛盾持有FDE，而它在FDE中失败用于多前提顺序（请参阅问题7，第8.10节第81页）。
系统FDE是一个着名的相关性逻辑系统（参见相关性逻辑的条目），它与其他相关性逻辑共享是滞后逻辑的属性，请参阅Paraconsistent逻辑上的条目。 解释逻辑无法满足不受限制的EX矛盾规则，该规则通常由搜索中的多个前进框架呈现：
一个，~a⊢b。
不满足负极矛盾规则的逻辑在更严格的意义上是恶作剧的。 双重否定消除和经典对象在直觉逻辑中没有有效（见直觉逻辑的条目）; 如果其中一个被添加到直觉逻辑的Axiom系统中，则可以获得用于古典逻辑的证明系统。
现在，是否定一个不可能或不必要的正常模态运营商？ 根据Berto（2014年），否定的含义在兼容性的概念下，以及其相反的不相容概念。 此外，BERTO需要兼容性和不相容的对称关系，结果，如果它不满足对施加规则和双重否定引入规则，则无法合理地称为否定。 根据Berto和Restall（2019），“因为不相容是模态，否定也是模态运算符。” 根据诸如£3，K3，LP和N4等系统中的不可抵押否定的否定，这种观点是有争议的，并且它已被De和Omori 2018所说的，而不是否定的否定。
2.3与否定的互动
如已经评论的那样，即否定的联合联系的分类可能取决于存在或不存在其他逻辑运营。 如果添加了否定操作的命题语言仅包含结合和分离（以及原子公式），则自然起点是假设一个人正在处理所谓的分配格逻辑（CF.Dunn和Zhou 2005）。 分配晶格逻辑是一种单一的手语和单一结论的语言，只有只能结合∧和分离∨。 除了衍生性关系的反射性和传递性之外，假设以下推理模式：
a∧b⊢a，a∧b⊢b，
Aïb，a⊢c/a⊢（b∧c），
Aïc，b⊢c/（a∨b）⊢c，
a⊢（a∨b），b⊢（a∨b），
（a∧（b∨c））⊢（（a∧b）∨（a∧c））。
在这种扩展的词汇中，人们可以考虑进一步的否定原则，特别是来自（22）的De Morgan推理规则：
（~a∨~b）⊢~（a∧b）
〜（a∨b）⊢（~a∧~b）
（~a∧~b）⊢~（a∨b）
〜（a∧b）⊢（~a∨~b）
如果假设标准评估条款的标准评估条款，则前三名摩根规则对于任何兼容性帧有效，并且可以利用∧和∨的标准推理规则证明它们（CF. reallall 2000）。 （第一个两个de Morgan规则也对任何兼容性框架有效，如果否定是不可能的，〜，则被否定所取代为不必要，而第一个两个摩根法律，而且只能使用对施加和推理规则来证明∧和∨，第三次摩根法的推导要求应用建设性对比：
（~a∧~b）⊢（~a∧~b）
（~a∧~b）⊢~a
a⊢~（~a∧~b）
（~a∧~b）⊢（~a∧~b）
（~a∧~b）⊢~b
b⊢~（~a∧~b）
（a∨b）⊢~（~a∧~b）
（~a∧~b）⊢~（a∨b）
