阿拉伯语和伊斯兰数学哲学（二）

作为精神对象的数学对象的再现的转折点是吸引NAFS al-'amr的概念来描述数学对象的本体状态，并阐明数学命题的真实制造者的性质。 这句话'NAFS al-'amr'字面意思是本身。 但它的技术内容很难在翻译中捕获。 虽然这句话也出现在阿维肯纳的着作中，但它可能是naṣīral-dīnal-ṭūsī（d.1274）谁在技术和理论上第一次使用了这句话。 不同的哲学家已经了解这句话，参考包括神圣知识，积极的智力，想法的领域等不同的东西（Kaş2021;尖顶2021）。 NAFS AL-'Amr理论对数学哲学的意义是，即使没有对象现实主义，也可以让我们保持判断 - 现实主义。 一些哲学家（例如，Sayyid Al-sharīfAl-Jurjānī，d。1413）已经使用了这个理论来表明，尽管数学对象仅仅是估计（Wahm³）并且没有任何心灵的存在，但数学判断是某些（yaqīnī），他们的真实价值观是独立的。 换句话说，关于数学，即使在拒绝对象现实主义时仍然可以保护判断现实主义（Fazlıoğlu2014; Hasan 2017）。

与数学本体有关的另一个重要问题是代数对象的性质。 代数未知（或者，当今我们称之为代数变量）可以漠不关心地引用数字或几何幅度。 因此，代数对象的性质与数字或几何形状不同。 遗憾的是，这种特殊类型的数学对象的混合本体很少（如果有的话）被讨论为与数字和大小不同的本体论。 但有人认为，熟悉的哲学家如al-fārābī和vicenna与al-khwārizmī（d.850）提出的代数理论在他的kitābal-jabr wa - Muqābala启发了他们既不是柏拉图式的事情

1.3无限

无限的问题是与中世纪伊斯兰哲学中最广泛讨论的数学哲学主题之一。 有许多论文认为没有数字可以是无限的。 例如，为了响应'īsā提出的一系列问题，ThābitIbnQurra讨论了数字的性质，并认为没有无限数量。 此外，他表明，无限的数量可以是不同的大小（松树1968; Sabra 1997; Mancosu 2009：Sec。2; M. Rashed 2009; Zarepour 2020b：秒。4.2）。 yaḥyā（D.974）在他的无限（Maqalafī-mutanāhō）的论文中，提供了不同的论点，以确定无限远在数字上没有预期（McGinnis 2010年：秒。3）。 但以下三个精神主义论据可能是伊斯兰传统中最讨论的：

（1）准直参数（BurhānAl-Musāmita）：考虑从圆圈C的中心O开始的线L，与C的圆周相交，并无限延伸。 此外，假设存在不同的线L'，其平行于L和在两个方向上无限延伸。 现在假设l开始旋转O旋转并越来越靠近L'，而L'则动态并固定。 结果，L和L'相交。 因此，有一段时间是两条线路并行，并且存在它们的时间。 因此，必须有一个时刻t和一个点p在l'上，这两条线首次相互交叉，否则参数出现。 但显然没有这样的T和P.对于界面的每个T，我们可以找到早期的时间t'（即，t'

在前一段中描述

图1

上述情景的变化 - 可能来自AgiStotle的de Caelo（i.5,272a8-20） - 由abūsahl al-qūhī（d.1000）提出的 - 拒绝亚里士多州的教条无限距离不能在有限时间内遍历。 这是因为上面的参数表明，L可以在有限时间内遍历L'等于L周围的一轮旋转的一半的一半（R. Rashed 1999; McGinnis 2010：Sec。3）。 相比之下，阿维森纳在某些地方使用准直参数（Avicenna Al-Najāt[1985：233-44]; [PH1]：CHAP。II.8，[8]）拒绝在无限内的圆周运动的可能性在其他地方和其他地方（avicenna al-ḥikmaḥikma，chap。3,20）拒绝实际的大小的大小（Zarepour 2020b：sec。3.1; r. rashed 2016：302-6; 2018：SEC。11.2）。 在他的Al-Mu'Tabar（第2,83-84和86卷），在他的talkhīṣal中，准直论者是批评的-muḥassal（[1985：217]），和al-ḥillī（d.1325）在他的nihāyaal-marāmfù'ilmal-kalām（第1,256-258卷）。 这些论点也被他的al-mabāḥithal-mashriqīya（第1,196卷）和mullāAsfār（第4,2,21-23卷）。

（2）梯形图（BurhānAl-Sullam）：如果可以存在无限线，则可以存在侧面是无限的锐角。 假设AB和AC是两个在A中相交的无限线并制造这种锐角。 AB和AC分别在B和C的方向上无限延伸。 现在考虑与AB和AC相交的平行线BICI（对于整数I≥1），使得每两个连续线之间的距离等于B1C1之间的距离来自A.因此，每条线比上一线通过固定长度长度，例如，（即，对于每个整数I≥1，BI + 1CI + 1-BICI = D）。 现在考虑BC。 它比A的任何BICI更远。因此，BC比任何BICI长。 这表明BC实际上必须是无限的。 然而，BC仅限于两条线（即，AB和AC）之间。 它终止于B和C.因此，它也必须是有限的。 因此，BC必须是有限和无限的。 这是不可能的。 因此，我们构建论证的初始假设是错误的。 没有无限的线（和Fortiori，没有无限幅度）可以存在（R. Rashed 2016; 2018：Sec。11.2; Zarepour 2020B：秒。3.2）。

在前一段中描述

图2

梯子论点是在De Caelo（i.5,271b26-272a7）中提出的亚里士多德的争论的康复。 阿维肯纳在“愈合”的物理学中讨论了这个论点（百年望[ph2]：chap。III.8，[7]）。 该论点一直是拥有哲学后长期争论的主题（McGinnis 2018）。 在他的al-mu'tabar（第2,84-86卷）和Najm al-dīnal-kātibīal-qazwīnī（d.1277）中，争论被批评的批评ḥikma凯马al-'ayn（[2002：38-39]）。 另一方面，可以在Avicenna指针和提醒的评论中找到梯形目参数的防御（在Avicenna [指针]：Namańi，183-191）和mullā▍Adrā对al-abharō的Hidāya评论（Sharsharḥal-hidāyaal-athīrīya，65-69）。

（3）映射参数（BurhānAl-taṭābuq或al-taṭbīq）：考虑一个实际无限的线AC，其从A开始，沿C的方向延伸。从AC开始，取下有限的分段AB。 假设B * C *是（并且，相应地，相同的长度为）BC的副本。 通过在后者上映射前者，将B * C *的大小与AC进行比较，以便两条线是平行的，B *在A的前面是右侧。B * C *必须在C *方向上无限延伸。 否则，B * C *将是有限的。 这意味着BC也是有限的。 结果，AC-IN-IN-IN与有限段AB的BC的总和是有限的。 由于这与AC实际无限的初始假设相矛盾，因此B * C *必须在C *方向上无限延伸。 但是，如果是这样，那么B * C *和AC彼此对应，意义上，其中一个的任何一个部分被另一个遗留下来。 因此，根据欧几里德元素第一章的第四次常见概念 - 根据哪个对应于彼此的事情彼此相等（[1908：第1,55]） - 我们可以得出结论，交流等于B * C *。 这表明AC也将等于BC，这是AB的适当部分。 然而，第五个欧几里德的常见概念指出，这种全部部分平等是荒谬的（[1908：1,155]）。 因此，AC不能等于BC。 因此，必须拒绝AC可以是实际无限线的初始假设。 没有这样的实际无穷大小。

在前一段中描述

图3

早期版本的映射论证可以在Al-Pinker的Oeuvre（Rescher＆Khatchadourian 1965; Shamsi 1975; Adamson 2007：Chap。4; Zarepour 2020b：n。52）。 此参数的更多精确版本由Avicenna（Marmura 1960; McGinnis 2010：Sec。4; Zarepour 2020B）。 这些思想家提供的论证版本的强度和准确性至少在至少，在其构建几何大小的平等概念的精度上。 已经表明，一些穆斯林思想家对此概念的详细说明（R. Rashed 2019）。

与其他两个参数一样，映射参数的主要目标是表明实际存在无限连续幅度。 读取欧几里德的元素（BKS 7-9），穆斯林思想家知道数字可以很容易地由大小表示。 因此，对于无限量大的任何不可能的任何论点可以作为反对数字无穷大的论据。 但无限系列怎么样？ 三个论点都不是直接适用于无限的离散实体。 尽管如此，有人认为，Avicenna可能意识到可以修改映射论点，以便适用于无限的离散编号的东西（Zarepour 2020b：sec。4）。 通过采用先前在连续大小的情况下使用的“映射”的非常概念，可以比较两种离散实体集合的尺寸。 但是，在离散实体的集合的情况下，该概念必须根据有关两份收集的元素之间的一对一对应兑现。 如果一个集合的每个成员可以与另一个（并且只有一个）成员配对的两个成员可以与另一个集合的每个成员配对，因此任何这些集合的成员仍未承载，则彼此对应。 Avicenna似乎已经意识到，可以与其适当的子校集中的一些相对应地进行无限的离散实体集合。 他认为这是一种作为一个完整的癌症的无限级别的对应关系。 他明确提到了映射论证可以排除无限量大和无限集合的离散实体的可能性（例如，数字和编号的东西）。 但是，他并不是他自己明确地明确在离散事物的情况下实际工作的原因。 他不提供任何具体示例，将映射参数应用于无限集合的对象的情况。 这样一个例子可以在Fakhr al-dīnal-rāzī（Sharsharḥ'uyun al-antikma，al-ṭabī'īyāt）（ṭabī'īyāt）中找到这样的示例。 al-ghazālī（d.1111）提到了他的maqāṣid中的映射论证（[2000：97-98]），并最早传播到拉丁传统的这个论点可能是通过第三季度maqāṣid的拉丁语翻译十二世纪。

这些参数通常在物理学的背景下讨论。 这是因为它们是首先设计的，以表明物质世界中没有实际存在的无限。 但是，如果认可的文字主义，我们将数学对象视为物理对象的属性，那么物理世界中实际无限存在的不可能意味着无限扩展的几何线条和无限数量的无数。 但是那些拒绝数学本体论的文字的人对数学对象的争论的适用性有不同的看法。 例如，Fakhr al-dīnal-rāzī认为，映射论证不能拒绝收集自然数量的无情，因为他将数学对象呈现为依赖于思维和完全无关的实体（Sharsharḥ'Uyun Al-ḥikma凯马，al-ṭabī'īyāt[1994：53-57]）。 虽然我们可以吸引映射辩论，但拒绝镇静世界中的无限不同物体对象的存在，但这种说法不能拒绝存在像数字的无限数量的依赖物体，否则al-rāzō似乎相信（Zarepour 2020B：4.1）。

有趣的是，一些穆斯林哲学家认为，即使是心灵也在感知无限的事情方面拥有自己的局限性。 例如，IBN Al-Haytham认为，虽然我们可以想象任何任意长度的有限线（即，无论它们多长时间），我们无法想象一个实际无限的线。 因此，尽管我们可以想象比宇宙大小长的有限线，但我们无法设想实际无限的线。 IBN Al-Haytham认为，实际的信息在镇静世界中，甚至在脑海中都不存在（Masoumi Hamedani 2013; Ighbariah＆Wagner 2018：80）。

1.4连续性

关于数学连续体的穆斯林思想家的观点与他们在原子学和Hylomorphiss之间辩护的职位与物理世界的性质相互交织在一起。 对于avicenna，物理世界与数学对象领域之间没有间隙。 至少如果我们接受对大学的解释作为关于数学本体论的文字论者。 他认为，在没有实际部分的意义上，几何幅度是连续的。 相应地，物理尺寸是连续的并且没有实际部件。 我们当然可以将任何连续幅度分成较小的部分。 在物理世界中，可以在实践中可以分解成较小量大的物理尺寸的长度的实际下限。 相比之下，在我们的估计学院中，这个限制消失了，所有大小都可能无限地可分开。 尽管这种实际差异，从理论上说话，几何线条和物理尺寸之间没有区别。 结果，几何连续性意味着物理原子学是错误的。 实际上，阿维森娜吸引了拒绝物理原子派的数学连续性（avicenna [ph2]：第三章; Lettinck 1999; Dhanani 2015; McGinnis 2019：Sec。3）。

与avicenna相比，有哲学家同时赞同数学连续性和物理原子。 例如，shahrastānī（d.1153）坚持认为，估算能力的判断不可能让我们说服我们物理幅度可以承受潜在的无限分裂。 他认为物理幅度不是无限的。 它们的部件数量，实际甚至潜力是有限的。 Shahrastānō提醒我们，虽然宇宙的大小是可想的，但哲学家通常拒绝宇宙是无限的。 依靠类似的方法，Shahrastānō争辩说，尽管每个数量幅度都是无限制的，但存在强有力的论据，表明估计能力在这种情况下被误解，并且没有任何物理大小可分。 估计中宇宙大小的无限扩展性与宇宙有限的宇宙兼容。 类似地，估计中的大小的无限分配可能与占间世界中的只有有限数量的（潜在）部分兼容，否则shahrastānī似乎相信（Al-shahrastānīSumma哲学，513; McGinnis 2019）。 这意味着，如果我们将数学对象作为估计结构，我们可以与物理原子主义协调纯粹的数学连续性。

提出一个微妙的修改，Fakhr al-dīnal-rāzō（al-manṭiq，vol.6，第6章，第63章）辩称，违反民主党人认为，想象力的一切都可以在镇静世界中可分离。 他认为，我们可以想象的可分层数量的较低限度。 无论多大，无论在估计中都可被全部分地，都不是真的。 他不拒绝在欧几里德几何形状中的无限空数。 但他似乎不接受我们可以在欧几里德几何形状的背景下讨论的每一个大小的视觉形象（通过估计学院）。 拥抱物理原子主义（在他的后来作品中），Al-Rāzō否认，连续的欧几里德几何形状可以代表镇静世界的实际结构（Setia 2006; Eftekhari 2018; 2019）。 索赔，连续性在估计中没有现实，通常在稍后原子代构的作品中依赖于'aḍūdal-dīnal-'''（d.1355）（哈桑2017：233-35）。

2.数学认识学

2.1掌握数学概念

大多数讨论数学概念认识论的穆斯林思想家认为，这些概念是通过一些认知机制形成的，其首先输入是我们通过外部感官获得的数据。 根据他们的人类认知心理学的总体图像，不同的哲学家，这种机制的细节以不同的哲学家用不同的方式拼写出来。 例如，Avicenna提出了一个思想实验，表明没有在没有感知感知的情况下可以掌握数学概念（avicenna [mph]，chap。第八章，秒。1; Zarepour 2019：Sec。5; 2021，秒3）。 这表明Avicenna赞同数学的某种概念经验主义。 论阿维西纳的数学本体论的写法解释，在物理对象的理智世界中存在数学对象（ma'ānī）的物理对象。 与所有其他内涵属性一样，估计学院都认为数学实体。 例如，当我们看到两本书时，它是估计的估计能力。 在这样的经验中，通过常识的调解（mushtarak）的调解，由外部感官收集的明智数据将被转移到估算学院。 估算使我们能够忽略我们所拥有的所有经验的其他特征，并在我们的外部感官中无法直接访问的两性。

即使是数学本体的文字述评，仍有许多数学实体，数学家可能会参与，但在镇静世界中不存在（例如，一种复杂和非凡的几何形状，没有对方明智的世界）。 Avicenna认为，想象力（Mutakhayyila）能够通过分析，合成，分离和组合先前被储存在我们的认知院系中的更简单项目的图像来构建这些物体的心理图像（Zarepour 2021：秒。3）。 但是，如果我们赞同Avicenna的抽象主义者的数学本体，那么所有数学对象都是心理结构。 在镇静世界中没有数学对象可以直接通过估计来感知。 在这一解释上，估计能力与想象力的协作，以产生理想化的物体，其中一定是在我们思想之外的对应物。 这是这些院系进行的心理行为，使我们能够构建几何形状和数字（Ardeshir 2008; Tahiri 2016; 2018）。

无论如何，由于估计是一个身体教师，它不能与完全无关的东西啮合。 因此，它将数学实体视为与物质相关的东西（尽管没有特定的物种）。 估计对象不是可理解的普遍概念。 因此，必须通过将活跃的智慧添加到我们的故事（Zarepour 2021）来完成掌握数学概念的认知过程。 关于Avicenna认识论的一读（Nuseibeh 1989; Davidson 1992：Chap。4; Goodman 1992 [2006]; Black 2014），估计学院的行为准备了我们的灵魂，以获得普遍概念由积极的智力发出。 在Avicenna认识论的另一个账户上（哈斯斯2001; Gutas 2012），积极的智慧只是我们发现访问的可理解概念的库，因为内部院系的筹备和不可认真的功能。 总而言之，获取数学概念是一种从感知感知开始和以活动智力的功能结束的过程。 在这两个阶段之间，一般的内部院系的运作以及特别是估计和想象力，是必要和不可避免的。