量子理论与数学严格（五）

5.1.1扰动量子场理论

以下是扰动QFT的粗略概述（有关详细信息，请参阅James Fraser 2016）。 由于稳定的自由QFT型号比互动QFT模型更具数学易行，扰动QFT将交互视为假设弱耦合的自由拉格朗日的扰动。 对于理想化失败的量子色动力学等强耦合的理论。 使用扰动理论，可以通过在耦合参数方面扩展功率系列中的S矩阵元件来计算用于交互QFT模型的近似解。 但是，较高的顺序术语通常包含不同的积分。 通常，需要更高阶项的重整化来获得有限预测。 两个发散整体来源是红外（长距离，低能量）和紫外线（短距离，高能量）分歧。 通常通过施加长距离截止或为整体势头施加小的非零下限来处理红外分流。 低动量的急剧截止值相当于将理论放在有限音量盒中。 强加渐近边界条件并限制可观察到长距离“友好”观察到也有助于红外分歧。 紫外线分流通常通过施加动量截止来除去理论的高动量模式。 这相当于在任意短的长度尺度下冻结场的变化。 将系统放在具有一些有限间距的格子上，也可以帮助处理高动量。 尺寸正则化，其中整体度量被重新定义为范围，在分数尺寸上，可以帮助红外和紫外线分流。 重整化的最后一步是通过采用连续箱（即，去除高动量截止）和无限量限制（即，去除低动量截止）来除去截止。 希望是限制是明确的，每个订单都有有限的表达式。

詹姆斯·弗雷泽（2016）鉴定了扰动QFT的三个问题。 （1）严格问题：扰动QFT不是在数学上严格的，这使得难以分析和解释。 （2）一致性问题：扰动计算依赖于互动图像现有，但Haag的定理似乎表明互动图片不存在。 （3）理由问题：重整化缺乏物理动机，并出现临时。 詹姆斯·弗雷泽认为（1）和（2）对扰动QFT没有造成严重的问题，因为它没有试图建立连续QFT模型。 它是建立近似的物理量 - 不是要解释为物理系统的数学结构。

Baker（2016）和Swanson（2017）请注意，LQFT会产生虚假或未经证实的假设，例如扰动理论中某些无限总和的收敛性。 Dyson（1952）给出了一个启发式论据，即量子电动扰动系列不收敛。 贝克和斯旺森还争辩说，使用长途截止值与宇宙学理论和天文观测有所不同，这表明宇宙在空间无限。 即使在扰动理论都可以正式应用的弱耦合极限中，当扰动QFT提供基础物理学的准确近似时，尚不清楚。 在相互作用φ4理论中，当尺寸小于4对于Minkowski时空时，该理论是非渴望的，但是当维度大于4时，重字化扰动系列是渐近的，即使它出现了自由场理论描述非竞争相互作用。 当有4个维度时，如果额外的技术假设持有，理论也是微不足道的（有关详细信息，请参阅Swanson 2017（第3页））。

5.1.2量子场理论中的路径积分

在扰动QFT内出现数学严格问题的另一个领域是使用路径积分。 S-Matrix Power系列扩展包含超过动量空间的积分，这是路径积分/ Feynman图表有助于进行计算。 关键概念是分区函数z，其被定义为涉及动作的功能积分，这本身就是拉格朗日的一体。 以下细节主要来自汉克·李（2017年）。 更具体地，该动作是量子场的功能。 动作上的功能积分范围通过时空上的量子字段值的所有可能组合来。 非正式地，遵守所有可能的现场配置。 作为Swanson（2017）说明，路径积分需要在无限尺寸路径空间中选择测量，这仅在特殊情况下数学上定义。 例如，如果系统在超电平晶格上配制，则可以定义该度量（参见James Fraser 2016的第1.2节）。 具有明确定义措施的另一种方法是限制对有限维子空间的关注。 但是，如果允许函数在短长度尺度上任意变化，那么积分不再定义（Wallace 2006，第42页）。 所有相关函数（即，不同时空点处的场的真空状态期望值），可以从分区功能z导出。因此，给定z，可以计算与拉格朗日相关的所有经验量，例如，，散射横截面。 找到LQFT的解决方案。 Z可以在耦合常数达到泰勒序列中扩展。 完成此操作时，可能发生两种类型的分歧：（1）扰动系列的个体术语可以发散和/或（2）扰动系列本身是发散的，尽管该系列可以是渐近系列。 要处理（1），物理学家执行以下程序（Hancox-Li 2017，PP。344-345）：（i）正规化，涉及通过尺寸正则化，动量截止或使用A减少自由度的数量晶格配方和（ii）添加反式抵制以补偿（i）的正则化。 但这种结构纯粹是正式的，没有数学上定义。 用于操纵拉格朗日的规则，因此不明确定义分区功能。

5.1.3重新成型组技术

华莱士（2011）争辩说，重整化组技术克服了较老的重新运算计算技术的数学缺陷（有关重修化集团的更多细节，请参阅Butterfield 2015，Fraser 2016，Hancox-李（2015A，2015B，2017）））。 根据华莱士的说法，重整化组方法将LQFT放在与理论物理学的其他领域相同的数学严格水平。 它提供了一种稳定的理论框架，可驳回粒子物理和凝聚态物理学，因此已解决公理QFT的动力。 重整化组技术预先假定QFT将在一些短的长度范围内失效，但是LQFT的经验含量大致对这种短长度尺度的细节非常不敏感。 Doreen Fraser（2011）认为，重整化组方法有助于阐明QFT的经验含量，但重整化组对QFT INSOMAR的理论内容没有意义，因为它不告诉我们我们是否应该关注LQFT或者赤桥。 詹姆斯·弗雷泽（2016年）和汉克·李（2015B）争辩说，重整化集团不得提供QFT的实证预测。 Renormalization Group为我们提供了研究不同能量尺度的物理系统行为的方法，即QFT模型的特性取决于或不依赖于小规模结构。 重整化组提供了对扰动QFT成功的非扰动解释。 汉克·李（2015B）讨论了数学家在建设性QFT中工作如何使用具有良好控制的错误界限的非扰动近似，以证明紫外线固定点的存在或不存在。 汉克 - 丽辩称，重整化组不受扰动的扰动重整化。 重整化组可以告诉我们某些拉格朗日是否具有满足公理的紫外线限制，QFT应该满足。 因此，在建设性QFT中使用重修化组可以提供额外的动态信息（例如，在连续时空中可能发生某个动态），纯粹的公理方法不是。

5.2中间地

蛋，林和oldofredi（2017年）争辩说，Doreen Fraser和David Wallace之间的主要分歧是QFT的非常定义。 Fraser将QFT带到量子理论和特殊相对性的结合。 如果QFT = QM + SR作为弗雷泽维护，则LQFT无法满足该标准，因为它采用违反Poincaré协方差的截止值。 对于华莱士来说，违反QftPoincaré协方差并不像令人担忧的那样令人担忧。 QFT不是真正的基础理论，因为不存在重力。 华莱士对QFT的近似真理告诉我们世界来说更感兴趣。 LQFT给了我们一个有效的本体论。 重修化组告诉我们，在可以预期量子重力的高能量方案中不能信任QFT，即普拉斯长度尺度，即不能忽视引力效应。 根据华莱士的说法，通过截止违规的违反Poincaré协方差可能不会增加一些真正的截止物。 但是，有其他选择需要考虑。

5.2.1多元化方法

一些哲学家拒绝了华莱士和弗雷泽之间辩论的看似或性质，以拥抱更多元化的观点。 在这些多元化视图上，不同的QFT配方可能适用于不同的哲学问题。 Baker（2016）倡导澳大利亚州或LQFT应该在询问领域信任，他们的理想化是未解决的问题。 例如，如果要解释的域是标准模型，则LQFT是适当的框架。 Swanson（2017）分析LQFT，AQFT和Wightman Qft，并认为所有三种方法都是互补的，没有深入的不兼容。 LQFT提供各种强大的预测工具和解释模式。 它可以考虑仪表理论，粒子物理的标准模型，弱核力和电磁力。 但是，计算技术的集合并非所有在数学上定义。 LQFT在仅限一定的长度尺度上提供QFT理论，并且由于LQET使用截止值，因此不能利用单一的不当表示的表示，因为使用截止，这使得所有陈述的所有表示有限的尺寸和单一等价物体的截止值。 公理QFT应该在所有长度尺度上提供对基本QFT的严格描述，而是与QFT仅针对一定长度定义的有效场理论观点冲突。 但是，如果公理Qft捕获所有QFT的共同，那么也应该通过它捕获有效的野外理论。 公理QFT赋予LQFT的精确团制，但如果公理QFT是完全忠实于LQFT图片的情况下尚不清楚。 在公理方法中，Wightman QFT在QFT的建筑物的混凝土模型中具有许多复杂的工具，除了严格的证实结构结果，如PCT定理和旋转统计定理。 但是Wightman QFT依赖于不直接代表物理属性的局部仪表相关的现场运算符。 AQTT可能提供更具物理透明的QFT的无仪表描述。 它具有拓扑工具，可以定义与温度，能量，电荷，粒子数相同的全球数量，这些粒度相同不当表示。 但AQFT难以构建模型。 虽然LQFT更加数学上是无定形的，但是最近没有已知拉格朗日的低维相互作用模型的代数结构，表明AQFT比LQET更广泛（Swanson 2017，第5页）。 然而，LQFT提供了建设性的QFT，并提供了与Lagrangians粒子物理学家对应的正确构建模型的指导（Hancox-Li 2017，第353页）。

5.2.2建设性量子场理论

建设性QFT通过严格构建QFT的特定相互作用模型，试图在LQET和公理QFT之间进行调解。 IT构建的非竞争解决方案应该对应于粒子物理学家使用的拉格朗日。 这确保了各种公理系统通过LQFT的经验成功与世界的物理连接。 虽然建设性QFT为某些尺寸的型号为尺寸小于4，但尚未完成颗粒物理学家使用的4维拉格朗安尚未完成。 满足Osterwalder-Schrader公理的任何模型都将自动满足Wightman公理。 建设性QFT试图通过将Minkowski Spacetime移位通过芯旋转来构造路径积分的功能整体度量（以下是基于Hancox-Li（2017）的第四节）。 在欧几里德场理论中，在Z方面定义的Schwinger功能必须满足Osterwalder-Schrader公理。 Z的衡量标准是施瓦茨空间的快速减少功能的高斯措施。 Osterwalder-Schrader公理由Osterwalder-Schrader重建定理与Wightman公理有关，这些修名容义指出，满足Osterwalder-Schrader公理的任何功能决定了一个独特的威斯曼模型其Schwinger功能的组合。 它允许建设性领域理论家使用欧几里德空间的优点来定义测量，同时确保它们构造在Minkowski时空中存在的模型。 它仍然必须验证，该解决方案对应于物理学家在LQFT中导出的相应拉格朗日的重字扰动系列。 挑战是如何将没有数学上定义的东西翻译成在展示LQFT中的“解决方案”可以由与一组公理一致的东西再现。 这是至关重要的，因为斯旺森（2017年）指出，目前尚不清楚扰动理论是否是LQET所描述的底层物理学的准确指南。 这引领了汉克·李（2017）争辩说，数学上造成的LQET与建设严格的QFT互动模型的建设性QFT的严格计划相关。 这些模型对应于粒子物理学家的利息人。 因此，LQFT可以通知QFT的理论内容。

另一个建设性QFT的工具是使用渐近系列，这可以告诉我们扰动系列的功能是渐近的，扰动QFT没有。 建设性QFT试图确定非扰动解决方案的一些性能，以保证渐近扩展的某些方法将导致独特的解决方案（参见Hancox-Li 2017，PP。349-350，了解更多细节）。 是严格定义的分区功能Z渐近术语，对重字扰动系列吗？ 粗略地，当序列的连续条款提供越来越准确的函数增长的速度时，函数是渐近的渐近。 扰动系列的功能和每个顺序之间的差异大致很小。 但是有许多不同的功能具有相同的渐近扩张。 理想情况下，我们希望在那里是一个独特的功能，因为那么有一个独特的非扰动解决方案。 强渐近的概念要求该系列的功能和每个阶数之间的差异小于渐近所需的差异。 强烈渐近的系列唯一确定功能。 如果存在强烈的渐近系列，则可以通过Borel Sumpulation从系列唯一重建该功能。 通过将该术语的顺序的阶乘划分系列中的系数，然后集成以恢复确切函数的阶乘划分系列中的系数来给出该系列的BOREL变换。 在建设性QFT中，目标是将独特的功能与一个重整化的扰动系列相关联，迄今为止，某种BOREL比例是主要候选者，尽管BOREL变换无法去除大阶分歧。 重整化扰动系列的渐近行为对正则化的选择非常敏感，并使它渐近呈现自由场理论，即使似乎描述了非动力扰动（参见Swanson 2017，第11页）。更多详情）。