量子理论与数学严格（三）

3.3.1.1测试功能

还有其他要求指定与衍生品有关的测试功能的空间。 DIRAC DELTA函数δ（X-A）的第一导数Δ'（X-A）由

∫f（x）δ'（x-一个）dx = -f'（一）。

与F的衍生物前面的交替±1相似地定义更高阶衍生物

∫f（x）δ“（x-一个）dx = f”（一）。

这表明FUCTION F的功能达到一些任意顺序k或无限可分辨。 关键点是DIRAC DELTA函数的衍生物的数量取决于导数F的数量。 为了简单起见，我们将假设测试功能无限可分辨，通常表示为C 1（Ω）。 请注意，选择测试功能CK（Ω），可达到订单k，将提供除了选择无限微分的测试功能C 1（Ω）的不同概念。 选择一类测试函数定义特定的分发。 分布的可差异取决于测试功能的可差异。 实际上似乎是非可微分的分布可以精确地差异，因为它们继承了测试功能的可分性特性。 因此，如果测试函数是无限微分的c∞（ω），则我们可以在我们喜欢的情况下区分Δ（X-A）等分布。

测试功能也需要在Ω内具有紧凑的支撑。 这意味着存在紧凑的SETk⊂ω，使得测试功能φ（x）= 0x∉k。 虽然这似乎是一种非常严格的条件，但它会产生更大的分布空间（见下文）。[2] 聚集在一起这些属性，我们现在可以将测试功能定义为（1）无限微分功能C 1（ω），具有（2）紧凑的支撑在Ω。 测试功能的集合具有矢量空间的结构，或更精确地表示为d（ω）或c的拓扑矢量空间

∞

c

（ω），下标c表示无限可分辨率的功能在Ω中具有紧凑的支持。 它还遵循c

∞

c

（ω）⊂c∞（ω）。

而不是要求测试功能在Ω内具有紧凑的支持，因此可以对测试功能施加较弱的要求。 例如，我们可以用C的测试功能替换紧凑的支持要求

∞

（ω）以及它们的衍生物可以充分地衰减为| x |→∞。 这些测试功能称为Schwartz测试功能，具有出色的渐近性。 Schwartz测试功能的空间将表示为s（ω）。 任何紧凑的测试功能都将遵守Schwartz条件。 忽略尺寸的尺寸要求，紧凑型测试函数D（ω）的集合将是S（ω）的适当子集，即D（ω）⊂s（ω）。 分布是从测试函数到真实（或复杂）编号的连续线性贴图（参见下面的第3.3.1.2节）。 换句话说，分布是其测试函数空间的DUAL空间的元素，表示其测试功能空间的D'（Ω）和s'（ω）。 S'（ω）的元素称为钢化分布。 由于D（ω）⊂s（ω）和d（ω）的收敛越强于s（ω），s'（ω）νd'（ω），即，钢化分布少于分布。 不升压分布的分布的一个例子是Ex，因为它是阳性的，而不是多项式界定为| x |→∞。 测试功能空间的限制越严重是“Wilder”的分布。 钢化分布很重要，因为它们允许傅里叶变换从“标准功能”扩展到钢化分布。 Schwartz函数的傅里叶变换是Schwartz功能，因此可以定义任何回火分布的傅里叶变换。 钢化分布是“缓慢生长”，因为它们的衍生物最快地生长为一些多项式。 通常假设威斯曼现场运算符（见下文第4.2节）是锻炼分布。 还有其他条件可以对测试功能施加，例如要求它们是罗形或分析的，但我们不会考虑这里的那些可能性。

3.3.1.2分布

如上所述，分发采用测试功能并将其映射到真实或复杂的数字，并且在该容量中称为功能。 它不是一个函数，即使诸如“DIRAC DELTA函数”之类的标题中具有函数的分布也是一个函数。[3]

测试功能的空间具有矢量空间的结构。 这意味着可以将任何两个测试功能一起添加到F + G或乘以施加λf，给出另一个测试功能。 需要分发来尊重这些操作，并将像F + G或λf等映射测试函数到实数。 线性功能u将映射f，g函数f，g到实数，如下所示：u（λf+λ'g）=λu（f）+λ'u（g）用于scalarsλ，λ'。[4] 分布将是该组测试函数D（ω）的线性功能。

由于总体目标是为了便于使用分布进行微积分，因此需要对分发方式的表征集合。 表征基于测试功能序列如何收敛的规范; 分布应以尊重测试函数序列的收敛规范的方式收敛。 考虑一些测试函数fn，该序列会聚在n→∞的极限中收敛到f，其中f，fn∈c

∞

c

（ω）。 在每个FN上的分发将每个FN映射到一个数字，所以作为n→∞，最终数字应该与它分配给测试函数f的相同。 换句话说，分布应该是（顺序）连续的。 适当的连续性来自对测试功能的空间施加的收敛类型。 这些考虑因分布产生适当的定义：T：C

∞

c

（ω）→R是如果T是（1）线性和（2）连续的分配。 所有分布的集合由d'（ω）表示。 该组测试函数用D（ω）或c表示

∞

c

（ω）是D'（ω），d（ω）⊂d'（ω）的合适子集。 这应该是直观的感觉，因为DIRAC DELTA“函数”是一个分布但不是函数，因此它可能不可能是测试功能。 该组分布必须更大。 也许不出所料，D'（ω）也是矢量空间，因此可以将分布添加在一起并乘以标量。 但是，D'（ω）不允许我们乘以分布。

3.3.1.3施瓦茨的不可能的结果

在分布D'（ω）的矢量空间上定义乘法操作的一种方法是在代数中嵌入d'（ω）。 字段上的代数是与称为乘法的额外二进制操作相同字段的矢量空间，其具有关联和分布的属性。

Schwartz的“不可能性”结果应该表明，在某些条件下，这种嵌入是不可能的。 在Schwartz的分布理论中乘以分配的平滑功能始终定义。[5] Schwartz的不可能性结果表明，没有两个分布的关联产物，其延长了分布的明确定义产品和平滑功能。 Schwartz验证的基本思想是考虑r的所有连续函数的代数，r点作为附加识别元素作为附加元素。 考虑一个包含作为元素所有连续功能的代数A. 大多数Schwartz的结果表明，D'（ω）不能嵌入A. [6] 假设a是关联的乘法产物∘，即f∘（g∘h）=（f∘g）∘h，并且与连续函数的代数的点乘以，即（f∘g）（x）= f（x）g（x），其中常量函数1在r中指定每个元素的函数1是代数的标识元素，即对于所有f∈a，f∘1= f =1∘f。

一个快速的例子表明，这产生了矛盾。 DIRAC DELTA函数的属性是XΔ（x）= 0。[7] Cauchy主值分布P.V.（

1

x

）当乘以x是1，即，p.v.（

1

x

）x = 1。 如果存在分布延伸的分布的关联乘法，则存在矛盾（参见Alvarez，PP。102-103和Oberguggenberger，PP。26-27）。 由于Xδ（x）= 0，0 = P.V。 （

1

x

）∘（（xδ（x））。通过乘法的关联，

0 = p.v。（

1

x

）∘（（xδ（x））

=（p.v.（

1

x

）x）∘δ（x）

=1∘δ（x）

=δ（x），

所以δ（x）= 0。 但δ（x）≠0。

分布的一个重要特性涉及差异，因此期望定义类似的操作员D，其与在连续功能上定义的衍生物重合，并且如果F具有衍生物（假设x≠0），则DX = 1。 D还满足Leibniz的规则：D（FG）=（DF）G + F（DG）。[8] Schwartz观察到，不可能具有同联的乘法操作，该操作也满足Leibniz的规则，这可以与DIRAC Delta函数共存。 以下是这种不兼容的例子（参见Nedeljkov等人（1998，第3页）。让h∈a有h∘h= h的财产。然后h是常数，即dh = 0。如果将h（x）设置为沉重的功能，然后DH（x）= 0。但是在分布理论中，DH（x）=δ（x）并组合两个结果意味着δ（x）= 0。

然而，Oberguggenberger（第28-29页）和哥伦比乌（1992，第8页）请注意，Schwartz的结果不依赖于分布的乘法。 相反，证据真的表明是乘法和区分连续功能的“不可能”，并且具有一个单数对象，Dirac Delta函数，作为A中的元素。说，在广义函数的关联代数中，乘法和差异不能同时不受限制地扩展相应的经典操作。“ Nedeljkov等人。 （1998年，第3页）写道，“没有办法在D'中的所有D'上定义”合理的“产品，仍然有D'。” 基于Oberguggenberger（1992），Grosser等。 （2001年，第3页）表明有三种方法来逃避Schwartz的不可能性：（1）定期内在操作，（2）不规则的内在操作，（3）外在产品和包含分布的代数。 在（1）中，分布的乘法仅限于D'的子空间，其中乘法是经典定义的。 但是，以这种方式定义的乘法不适用于所有D'。 （2）将产品运营商分配给D'，但仅针对某些分布对。 有很多方法可以选择对，尽管产生的乘法通常不会是连续的或关联的。 （1）和（2）都具有在所有D'中没有定义的产品操作的缺点。

3.3.2哥伦比亚代数

为了绕过“不可能的”证据，一个标准策略是修改或删除证明中的一个或多个假设。[9] Schwartz的许多假设似乎很自然，因此保守的方法是修改一个假设。 Colombeau（1992,1984）制定了一个包含分布的广义函数的联想代数，但不保留用于连续功能的产品。

哥伦比亚代数（参见哥伦比乌（1992），第2条，第8章）是广义函数G（ω）的关联差分代数。 ω，即C 1（ω）的所有无限微分功能的代数也是差分代数。 d'（ω）如何适合这张图片，因为它不是代数？ C 1（ω），d'（ω）和g（ω）是所有矢量空间，它们的元素组具有以下关系：C 1（ω）⊂d'（ω）⊂g（ω）。 g（ω）引起d'（ω），其添加，标量乘法和差异化属性，但不是其乘法。 G（ω）引起C 1（ω）的所有常用属性，即C 1（ω）已经包括乘法，因此C 1（ω）是G（ω）的子晶晶。 可以使用G（ω）中的乘法操作来乘以D'（ω）的两个分布，但结果可能不是分布！ 相反，两个分布的乘法将是G（ω）（即，广义函数）的元素，但不一定是d'（ω）的元素（即，分布）。

然而，哥伦比亚代数G（ω）不包含连续功能C（ω）的代数C（ω）作为子晶格。 换句话说，哥伦比亚代数的乘法操作不会在连续函数上扩展乘法操作，这是针对扩展代数A的施瓦茨。如果两个连续功能是G（ω）的元素，并且使用乘法运算符乘以一起G（ω）的结果，结果不需要给出与C（Ω）中这两个连续功能的乘法相同的答案。 两种乘法之间的差异是“无穷小”，因为结果没有差异，条件是产品不乘以一些“无限量”，如δ（0）。 允许以g（ω），但不允许在c（ω）中。 因此，当限制为C（ω）时，G（ω）中的乘法运算符将在C（ω）的经典分析中产生相同的结果。 在Colombeau（1992，第8.1节）之后，分布是从测试函数d'（ω）到r或c的线性映射。分布的产品看起来像从测试函数d'（ω）到r或c的非线性映射。考虑f1，f2∈c∞（ω）。 假设他们被认为是分布。 对于测试函数φνd（ω），每个F1，F2将使用Map IT到一些真实（或复杂）数量通过νωf1（x）φ（x）dx和ωf2（x）φ（x）dx。 假设拍摄产品F1，F2，它们的产品将是从测试函数φνd（ω）的映射到由∫ωf1（x）φ（x）dxωf2（x）φ（x）dx给出的一些实际或复数。 如果我们将其经典产品视为F1，f2∈c（ω），则分布看起来像从测试功能φνd（ω）到νωf1（x）f2（x）φ（x）dx的地图。 通常，∫ωf1（x）φ（x）dx≥ωf2（x）φ（x）dx将产生与νωf1（x）f2（x）φ（x）dx不同的结果。 然而，如果使用商，则这两个产品可能是相同的，即，

∫ωf1（x）φ（x）dxωf2（x）φ（x）dx + i =ωf1（x）f2（x）φ（x）dx + i。

粗略地，广义函数的代数必须至少完成两个任务：（1）D'（ω）嵌入其中，并且（2）有一个理想的I，使得上述两种产品是相等的。 要完成（1），请考虑在测试功能的空间上的所有无限微分功能C 1（D（ω））。 召回d（ω）（或c

∞

c

（ω））是所有无限微分功能的集合，具有ω，d（ω）⊂d'（ω）的紧凑载体，并且d'（ω）的元素从d（ω）映射到真实或复数。 C 1的元素（D（ω））是从D（ω）到真实或复数的映射。 当C 1（D（ω））给出矢量空间操作，乘法和部分导数时，它是差分代数。 假设有一个分布集

t1的（φ），t2的（φ），...，tm（φ）∈d'（ω），

可能有功能

f（t1（φ），t2（φ），...，tm（φ）），g（t1（φ），t2（φ），...，tm（φ））∈c∞（d（ω））

这样F和G的产品是明确定义的。 这似乎足以涵盖分布的所有非线性功能。 虽然有数学尼数来解决，但它应该是合理的，即d'（ω）可以嵌入在差分代数C 1（D（ω））中，该任务（1）。 有关更多详细信息，请参阅哥伦比亚（1992年）的第8章。

在准备探索将完成（2）的理想时，我们将通过构建“中等”函数的子晶晶（D）缩小C 1（D（Ω））

∞

是

（D（ω）），即对于任何测试函数φνd（ω），无限微分的函数f和f的部分衍生物通过一些常数乘以（

1

ε

）n为ε→∞。 可以证明分布d'（ω）⊂c

∞

是

（d（ω））。 最后，当所有衍生物都小表示为n（d（ω））时，我们要求两个广义函数是等同的。 n（d（ω））是c的理想

∞

是

（d（ω））。 不同处

ωf1（x）φ（x）dxωf2（x）φ（x）dx-anωf1（x）f2（x）φ（x）dx

属于n（d（ω）），因此两种产品都是等效的，它完成任务（2）。 一个（特殊）哥伦比亚代数GS（ω）被定义为：[10]

gs（ω）=

c

∞

是

（d（ω））

n（d（ω））

。

关于GS（ω）的关键点是它保留了无限微分功能的乘法，即C 1（D（ω））×c 1（d（ω）），但它不保留连续功能的产品，即，即，C（d（ω））×c（d（ω）），这是Schwartz'不可能结果的假设。

3.3.3哥伦比亚代数在物理学中的应用

哥伦比亚代数已应用于几个物理领域。 Colombeau（1992）在声学中提供弹性和弹性塑料的应用（在表征冲击波和碰撞的数值模拟中），在声学中（具有不连续特性的介质中的声音传播）。 在那些情况下，哥伦比亚代数提供了分析非线性偏微分方程的工具，其具有奇异系数提供用于数值解决方案的工具。

另一个应用领域可能是扰动量子场理论。 在量子场理论中存在扰动扩展术语，可以涉及分布的时间有序产品，这可能导致计算中的分歧。 Epstein和Glaser开发了因果扰动量子理论，通过要求分布符合因果关系要求来解决这个问题（关于这种方法的概述，请参阅Scharf（2014））。 这在精神上与Schwartz的第一个反应相似，这涉及涉及分布产物的定期内在操作的结果，其中包括满足某些条件的分布子集。 在Wightman的公理量子场理论（参见下面的第4.2节）中，该字段是操作员有价值的钢化分布，并且真空预期值（n点函数）的计算涉及这些钢化分布的产品，因此能够乘以分布至关重要。 哥伦比亚已经使用哥伦比亚代数来数学地阐明了量子领域的海森伯格 - 保利典型主义，这在包括哥伦比乌（2007年），Colombeau等人的后期出版物中进一步发展。 （2007），哥伦比亚和GSPONER（2008）。

最近已经使用了哥伦比亚代数来解决方面的相对论和量子力学理论的问题。 Grosser等人。 （2001）展示如何在可微分流形上创建一般和特殊相对性的扩散型不变哥伦比亚代数。 这种“非线性分布几何”为奇点存在下的非线性全球分析提供了严格的数学框架。 在非素描量子力学的背景下，哥伦比亚代数已被用于提供解决不能解决标准希尔伯特空间或装配的希尔伯特空间的问题的解决方案。 角度和角动量操作员不通存，因此不可能在平面旋转器上进行精确同时测量该对可观察物。 这导致了关于是否可以找到平面旋转器的最小不确定性功能的问题。 Fuss和Fileckov（2014）注意到它在Holevo（2011）中显示，这些国家不存在于标准的希尔伯特空间中。 然后，他们证明它们不能存在于一个装配的希尔伯特空间中，但它们确实存在于单位圈子上的哥伦比亚代数的状态空间中。

在哥伦比亚等人。 （2008），作者说明在结束他们的讨论时：“全面的方法应该讨论与绿色功能的性质有关的许多待定问题，渐近状态的定义，闭合形式的衍生和扰动解决方案，重新运算等。此外，突出的衍生术语和扰动的解决方案，重新定位等。此外，致命的衍生术语和扰动的解决方案等。此外，突然化等方面的衍生方式非线性广义职能应与已经进行的许多努力有关，以向量子场理论提供公理基础。” 迄今为止没有出版物，履行本票据，以将哥伦比亚代数与用于公理QFT或代数QFT的可观察结果的代数相关的哥伦比亚代数。