量子力学（一）_数学联邦政治世界观()

1.术语

2.数学

2.1向量和矢量空间

2.2运营商

3.量子力学

4.希尔伯特空间的结构

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相关条目

1.术语

物理系统根据它们的不变（或“独立的”）属性分为类型，并且一次系统的状态包括与其属性的完整规范，该属性随时间而变化（其“依赖于状态”属性）。要提供系统的完整描述，那么，我们需要说出它是什么类型的系统以及其历史中每个时刻的状态。

物理量是一种互斥的和共同详尽的物理性质（对于那些知道这种通话方式的人，它是一个分区中细胞结构的属性。知道数量需要的价值可以告诉我们它是由它组成的属性之间的关系。例如，二价量的值形成有两个成员的一组; 实值数量的值形成具有实数结构的集合。这是我们将一次又一次地看到的东西的特殊情况，即知道什么样的数学对象在某些集合中代表了哪些元素（这里，物理量的值;后来，系统可以假设的状态或与之有关的数量）告诉我们很多（实际上，可以说，所有人都要知道他们之间的关系。

在量子力学背景下，术语“可观察”可与“物理量”互换使用，并且应以相同的含义作为技术术语。理论的早期开发人员没有偶然选择这个术语，但是由于普遍接受的原因而言，选择的选择是出于如此。系统的状态空间是由其可能的状态的集合形成的空间，[2]即，将在内部表征其表征的量的物理上可能的方式。在古典理论中，形成剩余耐空基础的一组数量通常被称为“基本”或“基本”，因为任何组合其值的任何数学上可能的方式都是物理可能性，所以可以通过简单地将这些方式获得状态空间来获得坐标。[3] 因此，例如，由N颗粒组成的经典机械系统的状态空间，通过指定6N实值的值 - 位置的三个部件和系统中的每个粒子的三个动量 - 是6n维坐标空间。这种系统的每个可能状态对应于空间中的点，并且空间中的每个点对应于这种系统的可能状态。量子力学的情况有点不同，在那里有数学上描述的方式，可以组合不代表可能状态的量的数量的值。正如我们将看到的，量子力学的状态空间是特殊的矢量空间，称为希尔伯特空间，它们具有比其经典同行更多的内部结构。

一个结构是定义某些操作和关系的一组元素，数学结构只是一种结构，其中元件是数学对象（数字，集，向量）和操作数学ofter，并且模型是用于表示世界上一些物理显着结构的数学结构。

量子力学的心脏和灵魂包含在希尔伯特空间中，代表量子机械系统的状态空间。各国和数量之间的内部关系以及这一切需要大量的Quantum机械系统所表现的方式，都被编织成这些空间的结构，体现在代表它们的数学对象之间的关系中。[4] 这意味着根据量子力学理解系统的原因是与熟悉这些空间的内部结构密不可分。了解Hilbert Space周围的方式，并熟悉描述了向往通过它的路径的动态法律，并且在理论提供的条款中，您知道所涉及的所有信息，关于它描述的系统。

通过'知道你的方式围绕'Hilbert Space，我的意思是一些东西比拥有它的描述或地图; 任何在其架子上有量子力学教科书的人都有那样。我的意思是以你在你居住的城市中了解自己的方式时，你的方式知道你的方式。这是一种具有学位的实际知识，最好是通过学习解决形式问题的最佳知识：如何从A到B获取？我可以在没有通过c的情况下到达吗？什么是最短的路线？物理学生的研究生花了很长时间，熟悉希尔伯特空间的角落和缝隙，找到熟悉的地标，踩着它的击败路径，学习秘密通道和死亡的谎言，发展土地的整体铺设感。他们了解如何在出租车司机学会导航他的城市的方式导航希尔伯特空间。

需要多大的知识来接近与理论相关的哲学问题？在一开始，不是很多：只是关于景观几何形状的最常见事实（在任何情况下，与大多数城市的几何，美妙地组织）以及（代表系统的州的传感器通过它们的路径。这就是这里将介绍的：首先是一点简单的数学，然后，在坚果壳，理论。

2.数学

2.1向量和矢量空间

写入'| A1'的矢量a是一种数学对象，其特征在于长度，|和方向。归一化载体是长度1的载体; 即，| A | = 1。可以一起添加向量，乘以常数（包括复数），并乘以一起。向量添加将任意一对向量映射到另一个向量上，具体地，通过移动第二载体来实现，使其尾部与第一矢量一致，而不改变其任一个的长度或方向，然后将第一至第二尖端连接到第二尖端。该附加规则称为平行四边形法。因此，例如，添加载体| A1和|b⟩产量载体| C 1（= | A1 + |b⟩）如图1所示：

矢量加法

图1.向量添加

将载体乘以n，其中n是常数，给出与载体相同的向量，但是长度为n次的长度。

在真正的矢量空间中，一对载体的（内部或点）产品的一对载体和|b⟩，写入'⟨a|b⟩'是标量等于它们之间的长度（或'规范'）乘积的乘积，θ，θ之间的乘积：

⟨a|b⟩= |一个|| b |cosθ

Let |a1⟩和|a2⟩是长度1的矢量（“单位向量”），使得⟨a1|a2⟩⟨a1|a2⟩= 0。（因此这两个单位向量之间的角度必须为90度。）然后我们可以在我们的单位向量方面表示任何二维向量|b⟩，如下：

|b⟩= b1的|a1⟩+ b2的|a2⟩

例如，这是一个图表，该图显示了如何表示为两个单位向量的总和a1⟩和a2⟩：

图2

图2.代表|b⟩通过载体添加单元向量

现在，必须修改内部产品的定义⟨a|b⟩以适用于复杂的空间。让C *是C的复杂缀合物。（当C是形式的复数A±BI时，那么C的复合缀合物C *定义如下：

[一个+双] * =一个-双[一个-双] * =一个+双

因此，对于所有复数C，[C *] * = C，但是在C是真实的C * = C是真实的。）现在可以根据如下复杂系数的缀合物来给予复杂空间的A和|b⟩内部产品的定义。在其中|a1⟩和| A21是前面描述的单位向量，| A1 = A1 |a1⟩+ A2 | A21 + A2 |b⟩= B1 |a1⟩+ B2 |a2⟩

⟨a|b⟩=（一个

）（b1的）+（一个

）（b2的）

内部产品的最通用和摘要概念，其中我们现在定义了两个特殊情况，如下所示。 ⟨a|b⟩是在传送空间V上的内部产品，以防万一

⟨a|a⟩⟨a|a⟩= | A | 2，和⟨a|a⟩⟨a|a⟩= 0如果且仅当a = 0时

⟨b|a⟩=⟨a|b⟩*

⟨b|a+c⟩=⟨b|a⟩+⟨b|c⟩。

这是从这方面所遵循的

| A1的长度是A1的内部产物的平方根，即，即，即，

|一个| =

√

⟨a|a⟩

和

| A1和|b⟩是相互垂直的，或of of，of，of of，⟨a|b⟩= 0。

向量空间是未在下面关闭的一组矢量，并且由常数乘法，内部产品空间是其中已经定义了矢量乘法的操作的矢量空间，并且这种空间的维度是它包含的最大非零数量，相互正交向量的最大数量。

在N维矢量空间中的长度1的N个相互正交矢量的任何集合构成该空间的正常正常基础。让|a1⟩，......，|an⟩是这样的单位向量的集合。然后，空间中的每个向量都可以表示为表单的总和：

|b⟩= b1的|a1⟩+ b2的|a2⟩+ ... + bn |an⟩，

其中bi =⟨b|ai⟩图库。这里的BI在此称为B的膨胀系数。[5]

请注意：

对于给定空间中的所有vector a，b和c，

⟨a|b+c⟩=⟨a|b⟩+⟨a|c⟩

对于任何vectors m和q，以基础表示，

|m⟩+ |q⟩=

我= 1

（英里+ qi）|ai⟩，

和

⟨m|q⟩=

我= 1

是

一世

还有另一种写作向量的方法，即通过在列中编写其扩展系数（相对于给定基础），如下所示：

|q⟩= [

第1季度

第2季度

]

其中qi =⟨q|ai⟩，ai和ai是所选的基础向量。

当我们处理无限尺寸的矢量空间时，由于我们无法编写挑选矢量所需的整个展开系数，因为它必须无限较长，因此我们写下了Q的函数（称为“波函数”，通常表示ψ（i））将这些系数作为值。我们写下，即功能：

ψ（我）= qi =⟨q|ai⟩

给出任何向量，以及矢量空间的任何依据，我们可以以此基础获得载体的波浪功能; 给出了向量的波浪功能，以特定的基础，我们可以构建它是波函数的矢量。结果证明，大多数关于向量的重要操作对应于它们的波浪函数上的简单代数操作，这是表示国家向量的通常方法。

当一对物理系统交互时，它们形成复合系统，并且在古典机制中的量子力学中，存在从其组件的组件的复合系统的状态空间构建一个规则，这些规则告诉我们如何从状态空间，公顷和HB为A和B分别，状态空间 - 称为HA和HB的“张量产品”，并写入该对的ha⊗hb。关于该规则有两个重要的事情; 首先，只要HA和HB是Hilbert Spaces，Haïhb也会也将是，第二个，Haïhb与ha和hb有关的方式存在一些事实，对复杂系统与其部件之间的关系具有令人惊讶的后果。特别是，事实证明，复合系统的状态不是由其组件的唯一定义的。根据量子力学的情况，这意味着或至少意味着它的意思是有关复合系统的事实（而不仅仅是关于它们的空间配置的事实），这些事实不会在其组件上监督; 这意味着系统有关于系统的责任，因为惠威在他们的部件上没有监督，那些部件排列在太空中的情况。该理论的这种特征的意义不能覆盖; 这是一种以一种方式，在大多数最困难的问题中涉及。

更详细的细节：如果{v

一种

一世

是HA和u的正常基础

是HB的正常基础，然后是一组（v

一种

一世

，u

）被采取以形成张量产品空间ha⊗hb的正式基础。符号v

一种

一世

⊗u

用于该对（v

一种

一世

，u

），ha⊗hb上的内部产品定义为：[6]

⟨v

一种

一世

⊗u

是

一种

⊗u

⟩=⟨v

一种

一世

一种

⟩⟨u

是

⟩

这是这种结构的结果，尽管Haïhb中的每个载体是形式va⊗ub中表达的线性和，但不是空间中的每个载体都在该形式中表达，事实证明

任何复合状态都定义了其组件的典型状态。

如果A和B的状态是纯粹的（即，分别以VA和UB表示），那么（A + B）的状态是纯粹的，并且由va⊗ub表示，

如果（A + B）的状态是纯粹的，并且在va⊗ub形式中表达，那么A和B的状态是纯粹的，但是

如果A和B的状态不纯，即，如果它们是混合状态（这些定义），则它们不会唯一地定义（A + B）的状态; 特别地，它可以是va⊗ub形式不可以表达的纯状态。

2.2运营商

操作员O是向量空间自身的映射; 它在一个空间中的空间中需要任何载体|b'⟩也在空间中; o |b⟩= |b'⟩。线性运算符是具有以下属性的运算符：

O（| A1 + |b⟩）= O | A 1 + O |b⟩，

o（c |a⟩）= c（o |a⟩）。

正如N维空间中的任何向量一样，可以通过N个数字列表示，相对于空间的选择，空间上的任何线性操作员都可以在N2号的列符号中表示：

o = [

o11 o12

o21 o22

]

其中Oij =⟨ai|o|aj⟩|o |⟨ai|o|aj⟩和AN是空间的基础矢量。然后，线性操作员o对载体B的影响是给出的

o |b⟩= [

o11 o12

o21 o22

]×[

b1的

b2的

]

= [

（o11b1 + o12b2）

（o21b1 + o22b2）

]

=（o11b1 + o12b2）|a1⟩+（o21b1 + o22b2 |a2⟩

= |b'⟩

在我们可以说出Hilbert空间是什么，然后我们可以转向量子力学。 | Bb⟩是o的特征向量，如果，o o |b⟩= a | o | b = a |b⟩。不同的运算符可以具有不同的特征向量，但特征向量/操作员关系仅取决于所讨论的操作员和向量，而不是特定的方式; 特征向量/操作员关系是，也就是说，在变革的基础上不变。 Hermitean操作员是一个运营商，其具有与其特征向量组成的正向性的性质，并且这些特征值都是真实的。

最后，Hilbert Space是一种矢量空间，在其上定义了内部产品，并且其完整，即，这是该空间中的任何Cauchy序列会聚到空间中的向量。所有有限的内部产品空间都是完整的，我会将自己限制为这些。无限案例涉及在此阶段没有果断地进入的一些并发症。

3.量子力学

量子力学的四个基本原则是：

（3.1）

身体状态。每个物理系统与Hilbert空间相关联，空间中的每个单位向量对应于系统的可能纯状态，以及每个可能的纯状态，到空间中的一些矢量。[7]

（3.2）

物理量。与系统相关联的Hilbert空间中的赫尔米亚人运营商代表物理量，它们的特征值代表了这些数量的测量结果。

有一个叫做Hamiltonian的操作员，在量子理论中发挥着特殊作用，因为可以通过跟踪其演化来方便地配制系统的动态。汉密尔顿人 - 写的h，或

- 代表系统的总能量。其特征值是可能在总能量的测量中获得的可能结果。通过对系统组件的动力学和潜在能量进行求和来给出。

（3.3）

组成。与复杂系统相关联的希尔伯特空间是与简单系统相关的那些张量产物（在标准，非相对论，理论：各个颗粒中）。

（3.4）

动力学。

一个。

类型1的上下文：给定T的系统和它所在的力量和约束，有一个等式，'schrödinger的等式'，它在任何其他时间u |vt⟩→|vt'⟩。[8] 为了我们的目的，U的重要属性是它是确定性的，这就是说它在任何其他情况下一次将系统的状态达到一个独特的状态，这是统一的，这意味着它是它是它的希尔伯特空间的自动形态（即，将该空间的映射到保存线性空间结构和内部产品的本身上，并且它是线性的，即如果它需要一个状态，并且它将状态|b⟩置于状态|b'⟩它将α| A1 +β|b⟩α| A'1 +β|α|α1+β|与任何状态呈现。

b。

类型2的上下文（“测量上下文”）：[9]在状态下的系统上的可观察B的“测量”，其具有将系统塌陷成与观察到的特征值对应的B-eIgenstate的效果。这被称为假设的崩溃。它缩小了哪种特殊的b-eigenstate是一个概率的问题，并且概率由称为诞生的规则给出：

pr（双）= |⟨a|b=bi⟩| 2

关于这两种情况有两个重要要点：

1型和2型上下文之间的区别仍然是在量子力学术语中制定的; 在本理论提供的条款中，没有人以完全令人满意的方式说明哪些背景是测量环境，以及

即使区分，也是一个公开的解释问题，无论是2型的背景; 即，它是一个公开的解释问题，无论是哪些上下文，系统都是由Schrödinger的等式之外的动态统治受到的。

4.希尔伯特空间的结构

我认为，我们对城市的位置之间的所有信息相同的方式体现在代表它们的地图上的点之间的空间关系中，我们对Quantum Mechanics中的（之间）和数量之间的内部关系的所有信息体现了在代表它们的向量和运营商之间的数学关系中。[10] 从数学的角度来看，真正区分量子力学从其经典的前辈区分开的是状态和数量具有更丰富的结构; 他们形成家庭，他们的成员之间具有更有趣的关系网络。

量子机械系统行为的所有物理上后果性特征是这些关系的数学特性的后果，并且最重要的是它们很容易概括：

（p1的）

在Hilbert空间中添加向量或通过标量将其乘以载体的任何方式都会产生一个也在空间中的载体。在归一化向量的情况下，它将来自（3.1）表示系统的可能状态，并且在发生具有不同特征值的观察B的一对特征向量的总和时，它本身并不是一个B的特征向量，但将从（3.4b）相关联，其中一组概率显示一个或另一个结果B测量。

（p2的）

对于赫伯特空间的任何秘密人员，还有其他人在同一空间上，它不会分享一整套特征向量; 实际上，很容易表明还有其他这样的运营商，它没有共同的特征向量。

如果我们制作几个额外的解释性假设，我们可以说更多。例如，假设它

（4.1）

与系统相关联的Hilbert空间上的每个秘密运算符代表了一个明显的可观察到，（因此）每个归一化载体，不同状态和

（4.2）

系统具有可观察到的IF的值，并且仅当表示其状态的载体是A-Operator的特征级别。在这种情况下，它的价值只是与该特征的特征值。[11]

从（p2），（3.1），没有量子力学状态是所有可观察到的尖端甾酸盐（并且实际上，有观察到的可观察到，因此没有（3.2），那么没有量子机械系统与其有关的所有数量的同时值（并且事实上，没有对没有状态分配同时值的数量对）。

（本章完）