几何的精神主义（三）
识别问题。 假设我们确实有一个全面的离散几何形状，并假设我们用离散版本替换物理理论的经典几何形状。 我们现在将在谈论汉顿和年龄。 出现的“自然”问题是要与什么识别的？ 想象一下，符合Silberstein，我们有点天真，将被诱惑识别普朗克长度，LP = 10-35米和具有普朗克时间的计时，TP = 10-43s的霍顿。 如果现在接受最大速度是每次计时的最大速度是一个霍蒙，那么这种识别的东西是最大速度确实是C = 3.108M / s。 （注意：这里没有任何惊人，因为在古典物理学中，LP被定义为
√
ℏg/ c3的
和tp as
√
ℏg/ c5
，使其立即显而易见的是LP / TP = C。 现在问一个简单的问题下一个速度将是什么，就在c下面？ 答案必须是：每两个年间的一个霍顿，但这意味着C / 2的速度。 我们似乎错过了C / 2和C之间的整个范围。 有一种出路，但它假设认为“生涩”运动被认为是可能的，一个美观相当丑陋的想法。 物体在两个时间中移动两个杂音，然后等待一个计时，然后重复相同的运动。 然后平均速度是2c / 3。 在第3.2节中将简要提及的一种可能的出路是将随机性的元素引入结构中。 为了欣赏本主题的全部复杂性，超越仅仅是数值关系，请参阅HAGAR（2014）的出色概述和讨论。
3.离散几何形状作为经典几何的发电机
3.1一般框架
如第1节所述，在这里，我们将讨论寻找理论或模型的提议，其基础是几何理论，从而可以导出经典几何概念。 显然，随着“危险”一直存在，一定需要非常小心，即无限进入观众或不受注意的地方。 假设，给出一个简单的例子，只允许一组有限点，而且还可以在与当前的所有点不同的任何一对点之间生成的操作，并且没有对操作可以应用的次数没有限制，然后我们在这里有无限数点“伪装”。 要调用这样的模型，一个离散的几何模型似乎相当不合适。
例如，还需要非常小心，例如，要求量子力学涉及离散值，通常与海森伯格不确定性原则有关，因此基本水平的物理是一个离散的理论。 然而，这是非常误导的。 咨询量子力学的任何手册足以观察使用的数学需要充分利用信息。 无论是使用Heisenberg的矩阵方法，希尔伯特的运营商形式主义，Schrödinger的波浪方程或其他一些形式主义，数学涉及积分，衍生物，无限（收敛）总和，具有无限空间的空间尺寸等（参见量子力学的条目）。 这里没有明确地发现。 这意味着对于量子力学，也是一个真正的问题，可以找到一个离散的对应物。 明确证明了Gerard'T Hooft以真正的离散方式重构量子力学的尝试，请参阅“T Hooft（2014）。 有趣的是，它会影响确定主义与不确定主义等问题。
从历史的角度来看，毫无疑问，Tullio Regge的工作可以被视为第一次开发一个可以开发一个地质概念的模型的尝试。 原始纸张日期从1961年，参见Regge（1961）。 更具体地，我们在这里涉及一般相对论理论（GRT）。 尽管Regge的初衷是构建用于解决“困难”案例中GRT方程的技术，即，在没有对称的情况下，没有适用的对称性理论。 而不是将GRT的微分方程转录为差异方程，而是寻找一个通过完全导致不同方程的技术。 如果没有提出完整的细节，他的方法的核心概念是“赤字角度”。 在GRT中，我们正在处理弯曲的空间。 采取二维曲面。 如果它是平的，那么它可以覆盖三角形。 如果它是弯曲的，它可以用三角形近似，但具有重要差异。 假设三角形在顶点见面，然后我们可以看一下在该点相遇的一个特定点和所有三角形。 如果表面的那部分是扁平的，则会有一个差距。 对于该间隙对应于角度并且正是缺陷角度。 曲率越大，缺陷角度越大。 相同的技术适用于四维案例，使用代替三角形，使用单纯x。 这种方法的美是可以在单位的缺陷角度和单个边缘的长度方面重写GRT的等式，并根据这些概念解决。 米纳等人。 （1973）载有一章（42：“调理程序”），其以紧凑且完美的方式解释了Regge的方法。
今天有一种相当令人印象深刻的尝试。 他们中的大多数被认为是高度投机的，因为他们真正反映了全面发展的现状。 然而，还有一个慢慢开始出现的剩余方法，并且似乎是有可行的候选人，并且对几何的精神景观（在时刻而言）。 应该指出的是，对于提交人来说，他们的主要目标是制定一个离散的几何形式并不是很多，而是为了建立这一或该模式将作为量子（现场）理论和GRT的共同基础，因此对整个物理学，因此说话或者一个人喜欢，“一切理论”。 我们这里的担忧实际上更为温和：这些模型是否可以向我们讲述如何配制离散的几何形状，使得它们产生古典几何形状？ 所以，即使物理学家在良好的固体物质原因的基础上拒绝这样的模型，也可能有兴趣的是离散几何形状的可能性。
哈吉特特＆Wuthrich（2013A）概述了当时的情况，就剩余的套件而言。 值得一提的是，本文是特殊问题的一部分，Huggett＆Wuthrich（2013B），在Quantum的重心中出现时空的出现。 完全讨论并评估六种类型的建议，但我们只考虑三个。 其余的三个在当前的时刻是过于投机的，或者不涉及离散的空间（如弦理论和非换向几何形状）。 与我们主题相关的三种方法是：
格子时尚：这是接近Regge的方法，即在这种情况下由离散结构代替，在这种情况下是格子。 如果这些格子配备了某种形式的明显离散度量，则连续和离散空间（和时间）之间的连接变得非常接近。 下一节提出了这样的提案（留出物理），
非测量格子：此标题下的最佳已知示例是因果格。 晶格中的“点”之间的连接是因果关系，这需要更多的工作来从中导出空时结构。 事实上，在许多情况下，我们在某种意义上有没有去的定理，即离散格子“未能具有相似的相似性素描”（第278次），因此“回应”已经提到的负面结果Fritz（2013），
环状量子重力：该理论是严重采取的尝试之一，以统一量子（现场）理论和一般相对性。 基本结构是所谓的三维自旋网络。 如果允许这些网络随着时间的推移而演变，则四维结构出现，所谓的旋转泡沫，其限制应该产生相对论的空间结构。 应在此插入警告：尽管自旋网络的结构是具有一组节点和一组边缘的图表的结构，但是这些节点和边缘由物理上有意义的量标记，涉及诸如Lie组的连续结构。 未经详细介绍这种短reisenberger（1999）的简短提取物是高度说明性的：
通常，旋转网络的边缘携带仪表组的非普通不可可动化表示（Irreps），并且顶点携带交织者。 顶点的交叉插入可以是由进入边缘携带的IrrEP产品的产品和输出边缘上的Irreps的双重产品形成的产品表示的任何不变的张量。 （第2047页）
为了欣赏在这一研究领域的事情发展方面的发展程度，人们应该在已经提到的Huggett＆Wüthrich（2013A）和另外两篇论文之间进行比较，同时更早，更新。 前者是meschini等。 （2005），也意味着是调查纸。 有趣的是，Huggett和Wüthrich将他们的调查描述为对此的互补。 后者是苏里亚（2019年），再次调查纸。 这里的重点是因果设置方法。 将其与Smolin（2018）结合在一起，其中，讨论了量子环重力，并且必须通过达到的复杂程度印象。 重要的是要意识到，肯定更完全发达的方法涉及从一开始就涉及物理学。 奇怪的是，这些方法在空间逻辑上已经提到的文献中没有研究过，见1.1逻辑学家。 然而，两项研究主题之间的联系非常深刻，肯定需要进一步探索。
为了使上述高级别演示更具体，简要介绍了Nowotny＆Revardt（1999）的工作。 虽然有点日期，但由于在物理步骤之前，它是如何建立经典几何形状的古典几何形状的原型示例。
3.2使用图形的原型示例
起始点是分立图G =⟨n，C 1由Nodes，Ni和Connections的集合C组成，CIJ，使得没有连接到自身，并且节点NI和NJ最多有一个连接。 似乎最明显的是如何定义远程功能，并且在几乎所有的建议中，这确实是遵循的策略（类似于第2.5节中提出的定义）：
d（ni，nj）=从NI到NJ引导的最小连接数。
很容易看出距离功能的经典属性满足：
d（ni，ni）= 0，
d（ni，nj）= d（nj，ni），
d（ni，nj）+ d（nj，nk）≥d（ni，nk）。
乍一看，所有人都应该进一步前进，但是，如果一个人读取Ni和Cij作为一种矢量，那么可以形成线性组合，其中fi和gij是，例如自然或理性的数字：
f =
σ
一世
Fini和G =
σ
ik
gikcik。
这两个表达式可以作为NI和CIJ的函数读取。 现在，人们需要的是节点和连接之间的关系，因此引入了一个特殊功能D：
d：ni→
σ
k
杀伤细胞。
如果我们以线性方式扩展函数D，则会看到会发生什么是非常有趣的，以便它可以应用于任意功能f：
df =
σ
一世
fi
σ
k
杀伤细胞。
如果我们现在规定CIK = -CKI（作为一种矢量方程式，指出连接具有方向），那么上面的表达式可以如下重写（考虑到，因为不允许循环，CII = 0）：
df =
1
2
σ
ik
（fk-fi）杀伤细胞
虽然它仍然很长的路，但这个表达式DF已经有一些很好的属性，提醒函数f的衍生物之一：
它是线性的：D（f + g）= df + dg，
如果f在每个节点Fi具有相同的值的情况下是一个常量函数，那么它就会立即进行DF，对于f常数，为0，
如果F在两个直接相关节点Ni和Ni + 1，Fi + 1 = Fi + 1中，则换句话说，这表达了F（i）= i，然后df为1，其中1是由Σini表示的函数。 因此，身份函数的导数是常量函数1。
但是，随着以上述定义易于检查，产品规则发生故障，即D（f⋅g）不等于df⋅g+f⋅dg。
因此，在一定程度上，可以在离散图上构建基本形式的微积分。 它确实需要一些聪明才智和创造性的想法来找到“正确的”对应物，但这个简单的例子表明，可以从离散的图形派生很多结构。 实际上有更多。 离散图允许对维度问题进行良好的解决方案，这在第2.5节中提到。 这是想法的粗略轮廓：
考虑节点NI，然后U1是节点NJ的集合，使得D（NI，NJ）= 1，即，U1将最接近的NI邻居括起来。 同样，我们可以将U2定义为节点NK，使得d（ni，nk）最多如图2所示。遵循该+ 1，因此我们获得了一系列Ni的嵌套系列。 如果一个人理解尺寸作为邻域的“生长”的度量，那么维度可以定义为：
暗淡=
林
是→∞
ln |嗯|
lnm
该定义的一个有趣功能之一是，在整个图表中不需要均匀，因为全部取决于初始节点Ni的选择。 但在图形足够均匀的情况下，尺寸将是恒定的。 此外，如果我们采取古典案例，例如三维欧几里德空间，那么尺寸匹配。 假设我们具有常规格子作为底层图，那么特定节点具有多维数据集，作为由33 = 27点组成的最近邻居U1的集合，并且邻域UM将计数（M + 2）3节点。 因此
暗淡=
林
是→∞
ln（是+ 2）3
lnm
或昏暗=
林
是→∞
3⋅
ln（是+ 2）
lnm
由于足够大，
ln（是+ 2）
lnm
近似1，遵循暗淡= 3。 这表明的是，从离散图开始，我们已经获得了维度概念的延伸。 可能已经注意到，这种类型的定义与用于定义分形图像的尺寸的一些定义非常类似。
此外，离散图也可以处理各向异性问题。 在网络中引入随机性的元素就足够了，例如，在连接的节点组上取平均值，以避免任何特权方向。 这里有明显的相似性与不规则的平铺计划或含糊不清的引入，但重要的区别是统计和概率概念（公平地）很好地理解，而平铺问题是如上所述，张开问题，模糊仍然是一个令人难以置信的难以掌握的概念（参见这个百科全书中的含糊不清）。
3.3一个特例：组合层次结构
相信上面列出的不同尝试是一个错误的，以某种方式形成完整的目录，允许对所有可能的方法进行分类。 在这一段中，这种异国情调的例子，viz。 将简要介绍组合层次结构。 在这种方法中，重点不是物理学本身的等式，而是在它们中发生的物理常数，例如光的速度c，普朗克常数h，电子的质量，等等。 由于这些价值观必然有限，因此调查有限审批方法是否可以解释为什么这些常数具有它们所遇到的价值。 这些方法有时被称为“数字游戏”。
让我给一个非常简单的例子。 从由有限数量组成的宇宙开始，即0或1，介绍了基本操作，viz。，制作“歧视”。 要表达此操作，需要另一个操作：添加模数2：0 + 0 = 1 + 1 = 0和0 + 1 = 1 + 0 = 1。 如果结果为0，则该总和的元素不区分，否则它们是。 立即查看包含0和/或1的集合，这样，如果两个元素可区分，则该元素也属于集合。 恰好有3（= 22-1）这样的集：{0}，{1}和{0,1}。 如果现在3个元素作为新的基础而不是0和1，则巧妙的结构表明，存在7（= 23-1）这样的组，并且在下一步骤中弹出127（= 27-1）。 现在3 + 7 + 127 = 137且该数字靠近电磁耦合常数。
由于这些模型不容易地连接到现有的物理理论，因此该计划的成功相当谦虚。 在巴斯汀＆基尔蒙特（1995）中发现了本计划的自我介绍。 与A.S.的工作非常强烈相似 爱丁顿。 不令人惊讶的是，基尔曼（1994年）撰写了对其基本理论的Eddington工作的介绍。
3.4它可以是一个经验问题吗？
到目前为止，我们探讨了作为古典几何形状的对应的离散几何形状的几种理论可能性。 鉴于我们在前一节中讨论的示例，物理学的相关性似乎是显而易见的。 虽然可能很想相信空间和/或时间的离散性是纯粹的理论物质，但是这是一个有趣的问题，无论是问题也可能是经验性质。 更具体地说，我们可以想象的是，我们可以设计一个实验，使得结果是空间是离散的，或者空间是连续的？ 这可能听起来很远，但此事已经引起了哲学家的注意，并且确实提出了一个特定的实验，但目前目前迄今不可行的情况。
看到已经在1961年的Paul Feyerabend建议这样的可能性是非常有趣的。 然而，没有多得多，如
目前情况的难度似乎是缺少当前当前在物理学中使用的数学的离散替代品。 （1961：160）
同样有趣的是，Feyerabend Too提出了缺乏毕达哥拉斯定理的标准论点是真正的问题。 他的提议是
我们只需要假设在不同方向上的测量不会通勤; 然后也许我们可以将定理作为操作员方程保留。 （1961：161）
不幸的是，这里也没有据说。 Peter Forrest（1995）保持这种实验。 基本原因是古典数学使用连续变量，而严格的精神学数学使用离散变量。 因此，对于差异化和集成有限的模拟必须找到，它们将近于古典案例，但从不与它一致。 因此，总会存在较小的差异，不能排除这些可能是可检测的。
一种这样的检测可能性涉及以下好奇现象。 采用微分方程，DF / DX = AX（1-x）。 它是一个直接的练习来解决它，一个人会发现一个非常简洁的连续解决方案，而如果需要离散的情况，则相应的差分方程，Δf/Δx= ax（1-x），取决于参数A的值，功能f的行为产生混沌效果，这在连续案件中不存在。 查看van Bendegem（2000）和Welti（1987：516-518）。 这种实验的结果不会像希望一样清除，但要观察混乱效应意味着空间是离散的，而观察没有混乱的效果意味着任何空间是连续的，或者霍蒙斯比我们想象的要小。 经过很长一段时间的沉默，有一个新的发展报告。 Oppenheim等人。 （2023）声称，我们应该重新调查一般相对论理论中的时空的可能性，以便与量子（现场）理论获得统一。 后记古典重力理论，因为他们称之为，将连续的空间作为起点。 出现的问题是如何设计关键实验。 这样的实验不需要以直接方式涉及时空本身，但是，如果可以进行选择，它将同时成为离散或连续时空的选择。
它在这种引理中已经表明了不同的科学家，不同的意图和目标以及不同背景已经提出或提出了关于离散几何形状的同样不同的想法，作为古典几何形状的替代方案。 许多作者不一定呈现或多或少完整的理论，而是限制自己提出建议和探索一些特定的想法。 这些论文将被视为寻求全面理论的灵感来源。 一些例子是：Hahn（1934），Biser（1941），Coish（1959），Ahmavaara（1965A，B），Finkelstein（1969）（这是第一个具有相同标题的五个纸系列中的第一个在同一杂志），Dadić＆PISK（1979），Finkelstein＆Rodriguez（1986），Meessen（1989），Buot（1989），名称，但很少。 1925-1936期间，Kragh和Carazza（1994）是一个很好的概述，表明许多物理学家都与精神思想一起玩耍。
