模型理论（二）
1936年，Alfred Tarski提出了一种以完全解释的正式语言为争议的逻辑后果的定义。 他的提议是，如果只有：在任何允许的任何允许的非逻辑符号的重新替换之下，他的建议是有效的，如果房屋是真的，那么结论是如此。 Tarski假设可以从语言的语义中读出允许的允许的重新解释，如他的真相定义所示。 他毫不犹显地留下了什么符号; 事实上，他希望这种自由将允许人们定义不同类型的必要性，也许将“逻辑”从“分析”中分开。 使TINSKI的提议难以评估的一件事是他完全忽略了我们上面讨论的问题，分析了概念，以达到它们之间的所有逻辑连接。 我可以看到的唯一合理的解释在于他的括号中的评论
消除可能发生在有关句子中可能发生的任何已定义迹象的必要性，即通过原始标志替换它们。
这向我暗示他希望他的原始迹象通过规定不1aAlysable。 但是，通过规定，如果他对逻辑后果的概念捕获一切通常是逻辑的后果，那么它将纯粹意外。
历史学家注意到Tarski的提案与1437年伯纳尔·博尔扎诺Wissenschaftslehre第147节之间的相似之处。就像Tarski一样，Bolzano在真理方面定义了一个命题的有效性一个有关命题的家庭。 与Tarski不同，Bolzano在白话中的命题提出了建议，而不是用精确定义的语义的正式语言的句子。
在所有本节上，另请参阅逻辑后果的条目。
4.表达力量
句子s定义其模型的类Mod。 考虑到两种语言l和l'，我们可以通过询问每个类mod，句号的句子是否是l的一类形式mod（s'），其中s'是l'的句子。 如果答案是肯定的，我们说L是可降低的，或者L'至少与L一样表达。
例如，如果 L 是具有恒等式的一阶语言，其特征由 1 元谓词符号组成，而 L′ 是其句子由使用相同谓词符号的四种三段论形式（所有 A 都是 B、某些 A 是 B、没有 A 是 B、某些 A 不是 B）组成的语言，则 L′ 可归结为 L，因为三段论形式可以用一阶逻辑表达。（关于哪种表达方式正确存在一些争论；请参阅传统对立方条目。）但一阶语言 L 肯定不能归结为三段论语言 L′，因为在 L 中我们可以写下一个句子，说恰好三个元素满足 Px，而仅使用三段论形式无法表达这一点。或者反过来，如果我们通过在 L 中添加量词 Qx 来形成第三种语言 L″，其含义是“有无数个元素 x 使得...”，那么 L 显然可以归结为 L″，但向下的 Loewenheim-Skolem 定理立即表明 L″ 不能归结为 L。
这些概念对于分析数据库查询语言的强度很有用。我们可以将数据库的可能状态视为结构，一个简单的 Yes/No 查询将变成一个句子，如果数据库是它的模型，则得出答案 Yes，否则得出答案 No。如果一种数据库查询语言不能归结为另一种，那么第一种可以表达第二种无法表达的查询。
因此，我们需要比较语言表达能力的技术。最强大的技术之一是 Ehrenfeucht 和 Fraïssé 两个玩家 Spoiler 和 Duplicator 之间的来回游戏；有关详细信息，请参阅逻辑和游戏条目。例如，假设我们在两个结构 A 和 B 之间玩通常的一阶来回游戏 G。这些游戏的理论表明，如果某个一阶句子 ϕ 在 A 和 B 中恰好有一个为真，那么就有一个数字 n，可以从 ϕ 计算出来，并且具有 Spoiler 对 G 的策略可以保证他在最多 n 步中获胜的属性。因此，反过来说，为了证明一阶逻辑无法区分 A 和 B，只需证明对于每个有限的 n，Duplicator 都有一个策略可以保证她不会在前 n 步中失去 G。如果我们成功证明了这一点，那么任何区分 A 和 B 的语言都不能简化为结构 A 和 B 的一阶语言。
这些来回游戏非常灵活。首先，它们在有限结构上的意义与在无限结构上的意义一样大；古典模型理论的许多其他技术都假设结构是无限的。它们还可以顺利地适应许多非一阶语言。
1969 年，Per Lindström 使用来回游戏对一阶逻辑的表达能力进行了一些抽象表征。他的一个定理说，如果 L 是一种带有签名 K 的语言，则 L 在所有一阶句法运算下都是封闭的，并且 L 遵循单句的向下 Loewenheim-Skolem 定理和紧致性定理，则 L 可简化为签名为 K 的一阶语言。这些定理非常有吸引力；有关详细说明，请参阅 Ebbinghaus、Flum 和 Thomas 的第十二章。但它们从未完全兑现承诺。很难找到其他逻辑的类似特征。即使对于一阶逻辑，也很难确切地看出这些特征告诉我们什么。但粗略地说，他们告诉我们，一阶逻辑是一种具有两个属性的独特逻辑：（1）我们可以用它来表达有限模式的任意复杂事物，（2）它无法区分一个无限基数和另一个无限基数。
这两个属性（1）和（2）正是一阶逻辑的属性，让亚伯拉罕·罗宾逊能够建立他的非标准分析。背景是莱布尼茨在发明微分和积分时使用了无穷小，即大于 0 且小于 1/2、1/3、1/4 等的数字。不幸的是，没有这样的实数。在十九世纪，莱布尼茨风格的所有定义和证明都被重写为讨论极限而不是无穷小。现在让 R 成为由实数域以及我们想命名的任何结构特征组成的结构：当然是加法和乘法，也许是排序、整数集、sin 和 log 函数，等等。让 L 成为其签名与 R 相同的一阶语言。由于 L 的表达能力强，我们可以将任意数量的微积分定理写成 L 的句子。由于 L 的表达能力弱，我们无法在 L 中表达 R 没有无穷小量。事实上，罗宾逊使用紧致性定理构建了一个结构 R′，它是与 R 完全相同的 L 句子的模型，但具有无穷小量。正如罗宾逊所展示的，我们可以使用 R′ 中的无穷小量复制莱布尼茨的论证，从而证明各种微积分定理在 R′ 中是正确的。但是这些定理在 L 中是可以表达的，所以它们在 R 中也必须正确。
由于使用无穷小量的论证通常比使用极限的论证更容易形象化，因此非标准分析是数学分析师的有用工具。Jacques Fleuriot 在他的博士论文 (2001) 中将非标准分析的证明理论自动化，并用它来机械化牛顿的《原理》中的一些证明。
5. 模型和建模
对现象进行建模就是构建一个描述和解释它的形式理论。在密切相关的意义上，你通过编写对系统的描述来建模你计划构建的系统或结构。这些“模型”的含义与模型理论中的“模型”非常不同：现象或系统的“模型”不是结构，而是一种理论，通常采用形式语言。统一建模语言（简称 UML）是一种专为此目的而设计的形式语言。据报道，澳大利亚海军曾聘请一位模型理论家从事“模拟流体动力学现象”的工作。 （请不要启发他们！）
简单了解一下历史，我们就会明白“model”一词是如何产生这两种不同用法的。在晚期拉丁语中，“modellus”是一种测量装置，例如用来测量水或牛奶。由于语言的变化，该词在英语中产生了三个不同的词：mould、module、model。通常，测量出一定量物质的装置也会给该物质赋予一种形式。我们在奶酪模具中看到了这一点，在印刷过程中将油墨印到纸上的金属字母（17 世纪初称为“moduli”）也体现了这一点。因此，“model”的意思是手中的物体，它表达了世界上其他物体的设计：艺术家的模型带有艺术家描绘的形式，而 Christopher Wren 的圣保罗大教堂“模块”则用于指导建造者。
早在 17 世纪末，“model”一词就可以表示一种显示形式的物体，不是现实世界的物体，而是数学构造的形式。莱布尼茨夸口说，他不需要模型来做数学。其他数学家则乐于使用有趣表面的石膏或金属模型。模型论的模型最初是这种模型的抽象版本，用理论代替了表面的定义方程。另一方面，人们可以继续使用现实世界中的物体，但通过理论而不是手中的物理副本来展示它们的形式；“建模”就是建立这样的理论。
当科学家用方程描述世界上的现象时，我们就会陷入一种令人困惑的半途而废的境地，例如用指数函数作为解的微分方程。模型是由方程组成的理论，还是这些指数函数本身就是现象的模型？这类例子，其中理论和结构提供的信息基本相同，为帕特里克·苏佩斯 (Patrick Suppes) 的说法提供了一些支持，即“模型概念的含义在数学和经验科学中是相同的”(1969, 12)。一些科学哲学家一直致力于使用模型理论模型的非正式版本进行科学建模。有时这些模型被描述为非语言的——这可能与我们在上面第 1 节中对模型的定义难以协调。
认知科学是模型和建模之间的区别趋于模糊的一个领域。认知科学的一个核心问题是我们如何在头脑中表示事实或可能性。如果将这些心理表征形式化，它们就会变成类似“现象模型”的东西。但有一个严肃的假设，即我们的心理表征实际上与简单的集合论结构有很多共同之处，因此它们也是模型论意义上的“模型”。1983 年，两部有影响力的认知科学著作出版，均以《心理模型》为题。第一部由 Dedre Gentner 和 Albert Stevens 编辑，是关于人们对物理学基本事实的“概念化”；它完全属于“现象建模”的世界。第二部由 Philip Johnson-Laird 撰写，主要讲述推理，并多次援引我们意义上的“模型论语义”。约翰逊-莱尔德传统的研究人员倾向于将他们的方法称为“模型理论”，并将其视为某种意义上与我们所谓的模型理论有关。
图片和图表最初似乎徘徊在理论和模型之间的中间地带。在实践中，模型理论家经常为自己绘制结构图，并利用这些图片来思考结构。另一方面，图片通常不带有标签，而标签是模型理论结构的一个基本特征。关于用图表进行推理的研究正在迅速增加，而这些研究的压倒性趋势是将图片和图表视为一种语言形式，而不是一种结构形式。例如，Eric Hammer 和 Norman Danner (1996) 描述了一种“维恩图模型理论”；维恩图本身就是语法，而模型理论是对其含义的集合论解释。 （一个奇怪的反例是 12 世纪巴格达犹太学者 Abū l-Barakāt 的水平线图，它们代表结构而不是命题，Abū l-Barakāt 使用它们来表达三段论中的模型理论结果。更多细节请参阅 Hodges 2018 关于模型理论结果的文章。）
模型理论家 Yuri Gurevich 引入了抽象状态机 (ASM)，作为在计算机科学中使用模型理论思想进行规范的一种方式。根据抽象状态机网站（请参阅下面的其他互联网资源），
任何算法都可以在其自然抽象级别通过适当的 ASM 进行建模。... ASM 使用经典数学结构来描述计算状态；结构是易于理解的精确模型。
下面引用的 Börger 和 Stärk 的书是对 ASM 及其用途的权威说明。
今天，您可以通过找到一个好的表示系统来成名和发财。没有理由期望每个这样的系统都能完美地融入模型论的语法/语义框架，但如果模型论思想不继续在这一领域做出重大贡献，那将是令人惊讶的。
6. 模型论作为哲学问题的来源
以上各节讨论了模型论创建过程中的一些基本思想，并指出了这些思想在数学模型论或其他使用模型论的学科中出现的一些方式。除了从广义上讲哲学家研究思想外，所有这些都不是特别哲学的。但随着数学模型论越来越为哲学家所熟悉，它越来越成为哲学问题的素材来源。2018 年，出现了两本书，直接探讨了模型论的哲学用途，尽管方式截然不同。
在第一本书《Button and Walsh 2018》中，作者向读者发出邀请，帮助创建一门逐渐形成的学科——“哲学与模型论”。（书中大量精心编写的材料在一定程度上掩盖了这一点。）数学是基本哲学担忧的来源。例如，数学家提到了与我们没有因果关系的实体（例如π或实数集），这就引发了我们如何将这些实体识别为自己或彼此，以及如何发现有关它们的事实的问题。这些问题并不是模型论所特有的，也不是新的；但数学模型论是数学中最关注“指称”、“同构类型”和“不可分辨性”的部分，这些概念直接涉及哲学问题领域。作者对这些领域的关键讨论中的问题进行了清晰的分析。
第二本书《Baldwin 2018》介绍了 1970 年至今的数学模型理论，作为数学实践哲学学科的材料来源。该学科研究特定数学家在其历史背景下的工作，并提出以下问题：为什么这位数学家更喜欢用 X 进行分类而不是用 Y 进行分类？为什么这群数学研究人员选择使用这样或那样的语言或符号集来形式化他们的主题？他们如何决定将什么形式化，将什么保持非形式化？该学科部分是历史性的，但它寻求对所做历史选择的概念性依据。（参见数学中的数学风格和解释条目。）Baldwin 在数学模型理论方面有着悠久的工作历史，因此他可以从个人知识的角度回答上述问题。本书提供了大量示例，并附有有用的图片和极少的技术符号。
